Seja
uma transformação linear injetiva e não-sobrejetiva. Prove que a transformação linear
é invertível e
é uma inversa à esquerda de
.
Passo 1
O enunciado considera uma transformação linear
entre espaços com produto interno, injetiva (ou seja,
) e não-sobrejetiva. Definimos o adjunto
de modo que
para todo
,
. Queremos mostrar que
-
é invertível. -
é inversa à esquerda de , isto é,
Passo 2
Provar que
é injetora. Seja
tal que
Então, usando a definição de adjunto,
Logo
, o que implica
. Como
é injetiva, concluímos
. Portanto
ou seja,
é injetora.
Passo 3
Concluir que
é invertível. Num espaço vetorial de dimensão finita, ou de forma mais geral para operadores lineares sobre espaços de dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Logo
é bijetiva e, portanto, invertível.
Passo 4
Mostrar que
é inversa à esquerda de
. Basta calcular
Isso mostra que
compõe com
dando a identidade em
.
Resposta
A transformação linear
é invertível e
é uma inversa à esquerda de
, pois