Seja A: V W uma transformação linear injetiva e não-sobrejetiva. Prove que a transformação linear A^* A é invertível e (A^* A)^-1 A^* é uma inversa à esquerda de A.

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear
A:Vto W
entre espaços com produto interno, injetiva (ou seja, ker A=0) e não-sobrejetiva. Definimos o adjunto
A^*:Wto V
de modo que
lang<= A v,wrang<=W=lang<= v,A^* wrang<=V
para todo vin V, win W. Queremos mostrar que
  1. A^*A:Vto V é invertível.
  2. l(A^*Ar)^-1A^* é inversa à esquerda de A, isto é,
l(A^*Ar)^-1A^*,A = IV

Passo 2

Provar que A^*A é injetora. Seja vin V tal que
A^*A,v=0
Então, usando a definição de adjunto,
0 =lang<= A^*A,v,vrang<=V =lang<= A,v,A,vrang<=W =|A v|W^2
Logo |A v|W=0, o que implica A v=0. Como A é injetiva, concluímos v=0. Portanto
ker(A^*A)=0,
ou seja, A^*A é injetora.

Passo 3

Concluir que A^*A é invertível. Num espaço vetorial de dimensão finita, ou de forma mais geral para operadores lineares sobre espaços de dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Logo A^*A é bijetiva e, portanto, invertível.

Passo 4

Mostrar que l(A^*Ar)^-1A^* é inversa à esquerda de A. Basta calcular
l(A^*Ar)^-1A^*,A =l(A^*Ar)^-1,(A^*A) =IV
Isso mostra que l(A^*Ar)^-1A^* compõe com A dando a identidade em V.

Resposta

A transformação linear A^*A é invertível e
l(A^*Ar)^-1A^*
é uma inversa à esquerda de A, pois
l(A^*Ar)^-1A^*,A = IV

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