Interprete a questão 6-1) em termos de transformações lineares e de suas adjuntas: mais precisamente, prove que, dada uma transformação linear
, uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
- ou
é sobrejetiva,
- ou
não é injetiva e ker
é ortogonal a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma transformação linear
e seu adjunto
Queremos mostrar a seguinte alternativa única: ou
-
é sobrejetiva
ou -
não é injetiva e é ortogonal a .
Passo 2
Mostremos primeiro a ortogonalidade. Se
, então
. Para qualquer
vale a identidade do adjunto:
Isso prova que todo
é ortogonal a todo vetor
. Logo
Passo 3
Aplique agora o Teorema do Posto e da Nulidade tanto a
quanto a
. Sabemos que
Dessas igualdades segue:
é sobrejetiva.
Em particular, se é sobrejetiva então
(isto é,
é injetiva). Se
não é sobrejetiva então
e portanto
, isto é,
não é injetiva.
Em particular, se
Passo 4
Juntando tudo:
- Se
é sobrejetiva, então estamos na alternativa (1). - Se
não é sobrejetiva, então não é injetiva e já vimos em
Resposta
Exatamente uma das duas situações ocorre:
-
é sobrejetiva, ou -
não é injetiva e é ortogonal a .