Interprete a questão 6-1) em termos de transformações lineares e de suas adjuntas: mais precisamente, prove que, dada uma transformação linear A: R^n R^m, uma (e apenas uma) das seguintes alternativas ocorre:
  1. ou A é sobrejetiva,
  2. ou A^* não é injetiva e ker A^* é ortogonal a Im A.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma transformação linear
A:R^ntoR^m
e seu adjunto
A^*:R^mtoR^n
Queremos mostrar a seguinte alternativa única: ou
  1. A é sobrejetiva
    ou
  2. A^* não é injetiva e ker A^* é ortogonal a Im A.

Passo 2

Mostremos primeiro a ortogonalidade. Se yinker A^*, então A^*y=0. Para qualquer xinR^n vale a identidade do adjunto:
lang<= A x,,yrang<=R^m =lang<= x,,A^*yrang<=R^n =lang<= x,,0rang<=R^n =0
Isso prova que todo yinker A^* é ortogonal a todo vetor A xinIm A. Logo
ker A^*subseteq(Im A)^perp

Passo 3

Aplique agora o Teorema do Posto e da Nulidade tanto a A quanto a A^*. Sabemos que
dimIm A=dimIm A^* e dimker A^*+dimIm A^*=m
Dessas igualdades segue:
ker A^*=0
iffdimker A^*=0
iffdimIm A^*=m
iffdimIm A=m
iff A é sobrejetiva.
Em particular, se A é sobrejetiva então ker A^*=0 (isto é, A^* é injetiva). Se A não é sobrejetiva então dimIm A<m e portanto dimker A^*>0, isto é, A^* não é injetiva.

Passo 4

Juntando tudo:
  • Se A é sobrejetiva, então estamos na alternativa (1).
  • Se A não é sobrejetiva, então A^* não é injetiva e já vimos em

Resposta

Exatamente uma das duas situações ocorre:
  1. A é sobrejetiva, ou
  2. A^* não é injetiva e ker A^* é ortogonal a Im A.

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