Determine a transformação linear sobrejetora que satisfaça .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que seja sobrejetora (ou seja, que cubra todo o espaço ) e que satisfaça . Para isso, vamos lembrar como funcionam as transformações lineares e como podemos construí-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é completamente determinada pela imagem de uma base do espaço de partida. No caso, estamos trabalhando com , então precisamos escolher uma base para esse espaço. Vamos escolher o vetor dado no problema, , e adicionar mais dois vetores que sejam linearmente independentes para completar a base. Por exemplo, podemos escolher e .
Passo 3
Agora, queremos definir a transformação de forma que ela seja sobrejetora. Para isso, as imagens dos vetores da base devem gerar todo o espaço . Já sabemos que . Vamos definir a imagem dos outros dois vetores da base de modo que, juntos, eles formem uma base para .
Passo 4
Vamos definir e . Com isso, temos:
Mas queremos que . Para ajustar isso, podemos modificar a definição de de forma que ela satisfaça essa condição. Uma maneira é adicionar uma terceira dimensão que mapeie corretamente.
Passo 5
Vamos então definir a transformação da seguinte forma:
Dessa forma:
Para que , precisamos ajustar a última componente. Podemos definir:
Agora, verificando:
Ainda não é . Vamos então redefinir completamente a transformação para atender à condição:
Passo 6
Vamos definir a transformação linear com a seguinte matriz: