Investigando o verifique se é injetora, dê uma base e dimensão de e exiba o teorema. Onde dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para investigar o núcleo , decidir se é injetora, dar uma base e a dimensão de e exibir o teorema que relaciona núcleo e imagem. Para isso vamos usar teoria de transformações lineares, solução de sistemas lineares e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity).
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação vem y = -x. Substituindo na segunda:
2x + 2(-x) - z = 0 Longrightarrow -z = 0 Longrightarrow z = 0
Logo todos os vetores do núcleo têm forma (x,-x,0).
Passo 3
Como existe vetor não-nulo (1,-1,0) em N(T), o núcleo não é 0. Uma transformação linear é injetora se e somente se N(T)=0. Aqui N(T)neq0, portanto
(T) não é injetora ãé
Passo 4
Já vimos que
N(T) = (x,-x,0)mid xinR = span(1,-1,0)
Assim uma base de N(T) é (1,-1,0) e
dim N(T) = 1
Passo 5
O Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity) afirma que, para toda transformação linear
Tcolon Vto W
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
dim V ;=;dim ker(T);+;dim Im(T)
Resposta
T não é injetora.
Base de N(T): (1,-1,0). dim N(T)=1.
Teorema: para Tcolon Vto W, dim V=dimker(T)+dimIm(T).