Investigando o N(T) verifique se T é injetora, dê uma base e dimensão de N(T) e exiba o teorema. Onde
T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(x+y, 2 y+2 x-z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x+y,;2x+2y-z,)
e pede para investigar o núcleo N(T), decidir se T é injetora, dar uma base e a dimensão de N(T) e exibir o teorema que relaciona núcleo e imagem. Para isso vamos usar teoria de transformações lineares, solução de sistemas lineares e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity).

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0)Long<=ftrightarrow x+y = 0, 2x+2y - z = 0
Da primeira equação vem y = -x. Substituindo na segunda:
2x + 2(-x) - z = 0 Longrightarrow -z = 0 Longrightarrow z = 0
Logo todos os vetores do núcleo têm forma (x,-x,0).

Passo 3

Como existe vetor não-nulo (1,-1,0) em N(T), o núcleo não é 0. Uma transformação linear é injetora se e somente se N(T)=0. Aqui N(T)neq0, portanto
(T) não é injetora ãé

Passo 4

Já vimos que
N(T) = (x,-x,0)mid xinR = span(1,-1,0)
Assim uma base de N(T) é (1,-1,0) e
dim N(T) = 1

Passo 5

O Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity) afirma que, para toda transformação linear
Tcolon Vto W
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
dim V ;=;dim ker(T);+;dim Im(T)

Resposta

T não é injetora.
Base de N(T): (1,-1,0).
dim N(T)=1.
Teorema: para Tcolon Vto W, dim V=dimker(T)+dimIm(T).

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