Investigando o N(T) verifique se T é injetora, dê uma base e dimensão de N(T) e exiba o teorema. Onde
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, 2 y, 0).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x,2y,0)
e pede para:
1. Determinar o núcleo N(T).
2. Verificar se T é injetora.
3. Dar uma base e a dimensão de N(T).
4. Exibir o teorema (rank–nullity e critério de injetividade).

Passo 2

Para achar o núcleo, resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0)
isto é,
x = 0, 2y = 0, 0 = 0
Daqui vem x=0, y=0 e z fica livre. Logo
N(T) = (0,0,z)mid zinR

Passo 3

Como todo vetor do núcleo tem a forma (0,0,z) = z,(0,0,1), uma base de N(T) é
(0,0,1),
e portanto
dim N(T)=1

Passo 4

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ker T = 0. Aqui ker T = N(T) tem dimensão 1, ou seja, é maior que 0. Logo
T não é injetora ãé

Passo 5

Teorema (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity):
Para toda transformação linear Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
dim(ker T) + dim(ImT) ;=;dim(V)
Além disso, T é injetora se e somente se ker T=0.

Resposta

T não é injetora.
Uma base de N(T) é (0,0,1).
dim N(T)=1.
Teorema: dim(ker T)+dim(ImT)=dim(domínio)í e T é injetora \iff ker T=0.

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