Investigando o verifique se é injetora, dê uma base e dimensão de e exiba o teorema. Onde dada por .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para: . Determinar o núcleo . . Verificar se é injetora. . Dar uma base e a dimensão de . . Exibir o teorema (rank–nullity e critério de injetividade).
Passo 2
Para achar o núcleo, resolvemos
isto é,
Daqui vem x=0, y=0 e z fica livre. Logo
N(T) = (0,0,z)mid zinR
Passo 3
Como todo vetor do núcleo tem a forma (0,0,z) = z,(0,0,1), uma base de N(T) é
(0,0,1),
e portanto
dim N(T)=1
Passo 4
Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ker T = 0. Aqui ker T = N(T) tem dimensão 1, ou seja, é maior que 0. Logo
T não é injetora ãé
Passo 5
Teorema (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity):
Para toda transformação linear Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
dim(ker T) + dim(ImT) ;=;dim(V)
Além disso, T é injetora se e somente se ker T=0.
Resposta
T não é injetora.
Uma base de N(T) é (0,0,1). dim N(T)=1.
Teorema: dim(ker T)+dim(ImT)=dim(domínio)í e T é injetora \iff ker T=0.