Seja
uma transformação linear.
Mostre que se
é um subespaço de
, então
é um subespaço de
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e um subespaço
. Precisamos mostrar que
é subespaço de
. Para isso lembraremos que um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o zero de
pertence a
. Como
é linear, vale
E como
é subespaço de
, temos
. Logo
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos
. Por definição isso significa
e
. Como
é subespaço de
, é fechado sob soma, logo
Mas
é linear, então
o que mostra que
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
escalar e
, ou seja
. Como
é subespaço,
. Pela linearidade de
vem
logo
.
Resposta
Portanto
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, sendo assim um subespaço de
.