Seja T: V W uma transformação linear.
Mostre que se Z é um subespaço de W, então
T^-1(Z)=u in V ; T(u) in Z
é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:Vto W e um subespaço Zsubseteq W. Precisamos mostrar que
T^-1(Z)=uin V mid T(u)in Z
é subespaço de V. Para isso lembraremos que um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o zero de V pertence a T^-1(Z). Como T é linear, vale
T(0V)=0W
E como Z é subespaço de W, temos 0Win Z. Logo
T(0V)=0Win Z Longrightarrow 0Vin T^-1(Z)

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos u,vin T^-1(Z). Por definição isso significa T(u)in Z e T(v)in Z. Como Z é subespaço de W, é fechado sob soma, logo
T(u)+T(v)in Z
Mas T é linear, então
T(u+v)=T(u)+T(v)in Z,
o que mostra que u+vin T^-1(Z).

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alpha escalar e uin T^-1(Z), ou seja T(u)in Z. Como Z é subespaço, alpha,T(u)in Z. Pela linearidade de T vem
T(alpha u)=alpha,T(u)in Z,
logo alpha uin T^-1(Z).

Resposta

Portanto T^-1(Z) contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, sendo assim um subespaço de V.

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