1. Quais são as características de um espaço vetorial? Após explicar, dê um exemplo e faça sua comprovação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) explicar quais são as características (axiomas) que definem um espaço vetorial; (b) dar um exemplo concreto e fazer a comprovação de que esse exemplo satisfaz todas as características.
Informações dadas: não há restrição sobre o corpo dos escalares, então posso usar o corpo usual dos reais \mathbb{R}. Vou dar um exemplo clássico: o conjunto \mathbb{R}^2 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

O que é, formalmente, um espaço vetorial?
Um conjunto V é um espaço vetorial sobre um corpo (ou campo) F se estiver equipado com duas operações:
  • adição entre vetores: para quaisquer u,v\in V existe u+v\in V;
  • multiplicação por escalar: para qualquer a\in F e v\in V existe a v\in V;
e essas operações satisfazem um conjunto de axiomas (características) que vou listar detalhadamente no próximo passo.

Passo 3

Lista completa e explicada, em linguagem simples, dos axiomas (características) que definem um espaço vetorial V sobre o corpo F. Vou numerar para facilitar a comprovação depois.
  1. (Fechamento da adição) Para todos u,v\in V, tem-se u+v\in V. Significa que somar dois vetores do conjunto não sai do conjunto.
  2. (Comutatividade da adição) Para todos u,v\in V, u+v=v+u. A ordem da soma não altera o resultado.
  3. (Associatividade da adição) Para todos u,v,w\in V, (u+v)+w = u+(v+w). Não importa como os coloca entre parênteses.
  4. (Elemento neutro aditivo) Existe um vetor 0_V\in V tal que, para todo v\in V, v+0_V = v. Este é o “vetor zero”.
  5. (Inverso aditivo) Para cada v\in V existe -v\in V tal que v + (-v) = 0_V.
  6. (Fechamento da multiplicação por escalar) Para todo a\in F e v\in V, a v \in V. Multiplicar por escalar não sai do conjunto.
  7. (Compatibilidade de escalares) Para todos a,b\in F e v\in V, (ab) v = a (b v). Associatividade entre escalares e vetor.
  8. (Identidade multiplicativa) Para todo v\in V, 1_F v = v, onde 1_F é o elemento unidade do corpo F.
  9. (Distributividade do escalar sobre soma de vetores) Para todo a\in F e u,v\in V, a(u+v)=au+av.
  10. (Distributividade sobre soma de escalares) Para todos a,b\in F e v\in V, (a+b)v = av + bv.
Esses dez itens são as características que todo espaço vetorial deve satisfazer. A seguir vamos verificar um exemplo concreto, mostrando passo a passo como checar cada uma.

Passo 4

Escolhi como exemplo o espaço \mathbb{R}^2 com as operações usuais. Definições explícitas:
  • O conjunto é V = \mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x\in\mathbb{R},\, y\in\mathbb{R}\}.
  • Adição: para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2,
u+v = (u_1+v_1,\; u_2+v_2).
  • Multiplicação por escalar: para a\in\mathbb{R} e v=(v_1,v_2),
a v = (a v_1,\; a v_2).
Agora vou verificar, um por um, os axiomas do passo anterior usando essas definições.

Passo 5

Verificação do axioma 1 (fechamento da adição).
Se u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) estão em \mathbb{R}^2, então u_1,u_2,v_1,v_2\in\mathbb{R}. A soma
u+v=(u_1+v_1,\; u_2+v_2)
tem coordenadas u_1+v_1 e u_2+v_2, que são somas de números reais, logo pertencem a \mathbb{R}. Portanto u+v\in\mathbb{R}^2. Conclusão: fechamento ok.

Passo 6

Verificação do axioma 6 (fechamento da multiplicação por escalar).
Se a\in\mathbb{R} e v=(v_1,v_2)\in\mathbb{R}^2, então
a v = (a v_1,\; a v_2),
cuja cada coordenada é produto de reais, logo é real. Assim a v\in\mathbb{R}^2. Conclusão: fechamento por escalar ok.

Passo 7

Verificação da comutatividade da adição (axioma 2).
Para u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2),
u+v = (u_1+v_1,\; u_2+v_2) = (v_1+u_1,\; v_2+u_2) = v+u,
porque a soma de números reais é comutativa. Portanto u+v=v+u.

Passo 8

Verificação da associatividade da adição (axioma 3).
Para u=(u_1,u_2), v=(v_1,v_2), w=(w_1,w_2),
(u+v)+w = (u_1+v_1,\; u_2+v_2) + (w_1,w_2) = (u_1+v_1+w_1,\; u_2+v_2+w_2),
e
u+(v+w) = (u_1,u_2) + (v_1+w_1,\; v_2+w_2) = (u_1+v_1+w_1,\; u_2+v_2+w_2).
Os dois resultados coincidêm porque a adição em \mathbb{R} é associativa. Logo (u+v)+w = u+(v+w).

Passo 9

Verificação do elemento neutro aditivo e do inverso aditivo (axiomas 4 e 5).
  • Elemento neutro: considere 0_{\mathbb{R}^2} = (0,0), onde 0 é o zero em \mathbb{R}. Para qualquer v=(v_1,v_2),
v + (0,0) = (v_1+0,\; v_2+0) = (v_1,v_2) = v.
Logo (0,0) é o elemento neutro aditivo.
  • Inverso aditivo: para v=(v_1,v_2), defina -v = (-v_1,-v_2). Então
v + (-v) = (v_1 + (-v_1),\; v_2 + (-v_2)) = (0,0).
Portanto -v é o inverso aditivo de v.

Passo 10

Verificação das duas propriedades distributivas (axiomas 9 e 10).
  • Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para a\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2), v=(v_1,v_2),
a(u+v) = a(u_1+v_1,\; u_2+v_2) = (a(u_1+v_1),\; a(u_2+v_2)).
Por outro lado,
au + av = (a u_1,\; a u_2) + (a v_1,\; a v_2) = (a u_1 + a v_1,\; a u_2 + a v_2).
Como a(u_1+v_1)=a u_1 + a v_1 e idem na segunda coordenada, tem-se a(u+v)=au+av.
  • Distributividade sobre soma de escalares: para a,b\in\mathbb{R} e v=(v_1,v_2),
(a+b)v = ((a+b)v_1,\; (a+b)v_2) = (a v_1 + b v_1,\; a v_2 + b v_2),
enquanto
av + bv = (a v_1,\; a v_2) + (b v_1,\; b v_2) = (a v_1 + b v_1,\; a v_2 + b v_2).
Logo (a+b)v = av + bv.

Passo 11

Verificação da compatibilidade de escalares e da identidade multiplicativa (axiomas 7 e 8).
  • Compatibilidade: para a,b\in\mathbb{R} e v=(v_1,v_2),
(ab) v = ((ab) v_1,\; (ab) v_2).
Por outro lado,
a(b v) = a( b v_1,\; b v_2) = (a(b v_1),\; a(b v_2)) = ((ab) v_1,\; (ab) v_2).
Portanto (ab)v = a(bv).
  • Identidade multiplicativa: como 1\in\mathbb{R} é a unidade,
1 v = (1 v_1,\; 1 v_2) = (v_1,v_2) = v.

Passo 12

Resumo da verificação: mostramos explicitamente que \mathbb{R}^2 com as operações usuais satisfaz os axiomas 1 a 10 listados no passo 3. Logo \mathbb{R}^2 é de fato um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Se precisar de outro exemplo (por ex. polinômios de grau ≤ n, matrizes m\times n, funções reais, etc.), posso fazer a mesma verificação passo a passo.

Resposta

Características (axiomas) de um espaço vetorial:
  1. Fechamento da adição;
  2. Comutatividade da adição;
  3. Associatividade da adição;
  4. Existência de elemento neutro aditivo 0_V;
  5. Existência de inverso aditivo -v para todo v;
  6. Fechamento da multiplicação por escalar;
  7. Compatibilidade (ab)v = a(bv);
  8. Identidade multiplicativa 1_F v = v;
  9. Distributividade do escalar sobre soma de vetores a(u+v)=au+av;
  10. Distributividade sobre soma de escalares (a+b)v = av + bv.
Exemplo e comprovação: \mathbb{R}^2 com (u_1,u_2)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1,u_2+v_2) e a(u_1,u_2)=(a u_1,a u_2). Verificou-se passo a passo que todas as 10 propriedades acima são satisfeitas, logo \mathbb{R}^2 é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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