- Quais são as características de um espaço vetorial? Após explicar, dê um exemplo e faça sua comprovação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) explicar quais são as características (axiomas) que definem um espaço vetorial; (b) dar um exemplo concreto e fazer a comprovação de que esse exemplo satisfaz todas as características.
Informações dadas: não há restrição sobre o corpo dos escalares, então posso usar o corpo usual dos reais . Vou dar um exemplo clássico: o conjunto
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Informações dadas: não há restrição sobre o corpo dos escalares, então posso usar o corpo usual dos reais
Passo 2
O que é, formalmente, um espaço vetorial?
Um conjunto é um espaço vetorial sobre um corpo (ou campo)
se estiver equipado com duas operações:
Um conjunto
- adição entre vetores: para quaisquer
existe ; - multiplicação por escalar: para qualquer
e existe ;
e essas operações satisfazem um conjunto de axiomas (características) que vou listar detalhadamente no próximo passo.
Passo 3
Lista completa e explicada, em linguagem simples, dos axiomas (características) que definem um espaço vetorial
sobre o corpo
. Vou numerar para facilitar a comprovação depois.
- (Fechamento da adição) Para todos
, tem-se . Significa que somar dois vetores do conjunto não sai do conjunto. - (Comutatividade da adição) Para todos
, . A ordem da soma não altera o resultado. - (Associatividade da adição) Para todos
, . Não importa como os coloca entre parênteses. - (Elemento neutro aditivo) Existe um vetor
tal que, para todo , . Este é o “vetor zero”. - (Inverso aditivo) Para cada
existe tal que . - (Fechamento da multiplicação por escalar) Para todo
e , . Multiplicar por escalar não sai do conjunto. - (Compatibilidade de escalares) Para todos
e , . Associatividade entre escalares e vetor. - (Identidade multiplicativa) Para todo
, , onde é o elemento unidade do corpo . - (Distributividade do escalar sobre soma de vetores) Para todo
e , . - (Distributividade sobre soma de escalares) Para todos
e , .
Esses dez itens são as características que todo espaço vetorial deve satisfazer. A seguir vamos verificar um exemplo concreto, mostrando passo a passo como checar cada uma.
Passo 4
Escolhi como exemplo o espaço
com as operações usuais. Definições explícitas:
- O conjunto é
. - Adição: para
e em ,
- Multiplicação por escalar: para
e ,
Agora vou verificar, um por um, os axiomas do passo anterior usando essas definições.
Passo 5
Verificação do axioma 1 (fechamento da adição).
Se e
estão em
, então
. A soma
Se
tem coordenadas
e
, que são somas de números reais, logo pertencem a
. Portanto
. Conclusão: fechamento ok.
Passo 6
Verificação do axioma 6 (fechamento da multiplicação por escalar).
Se e
, então
Se
cuja cada coordenada é produto de reais, logo é real. Assim
. Conclusão: fechamento por escalar ok.
Passo 7
Verificação da comutatividade da adição (axioma 2).
Para e
,
Para
porque a soma de números reais é comutativa. Portanto
.
Passo 8
Verificação da associatividade da adição (axioma 3).
Para ,
,
,
Para
e
Os dois resultados coincidêm porque a adição em
é associativa. Logo
.
Passo 9
Verificação do elemento neutro aditivo e do inverso aditivo (axiomas 4 e 5).
- Elemento neutro: considere
, onde é o zero em . Para qualquer ,
Logo
é o elemento neutro aditivo.
- Inverso aditivo: para
, defina . Então
Portanto
é o inverso aditivo de
.
Passo 10
Verificação das duas propriedades distributivas (axiomas 9 e 10).
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para
e ,
Por outro lado,
Como
e idem na segunda coordenada, tem-se
.
- Distributividade sobre soma de escalares: para
e ,
enquanto
Logo
.
Passo 11
Verificação da compatibilidade de escalares e da identidade multiplicativa (axiomas 7 e 8).
- Compatibilidade: para
e ,
Por outro lado,
Portanto
.
- Identidade multiplicativa: como
é a unidade,
Passo 12
Resumo da verificação: mostramos explicitamente que
com as operações usuais satisfaz os axiomas 1 a 10 listados no passo 3. Logo
é de fato um espaço vetorial sobre
. Se precisar de outro exemplo (por ex. polinômios de grau ≤
, matrizes
, funções reais, etc.), posso fazer a mesma verificação passo a passo.
Resposta
Características (axiomas) de um espaço vetorial:
- Fechamento da adição;
- Comutatividade da adição;
- Associatividade da adição;
- Existência de elemento neutro aditivo
; - Existência de inverso aditivo
para todo ; - Fechamento da multiplicação por escalar;
- Compatibilidade
; - Identidade multiplicativa
; - Distributividade do escalar sobre soma de vetores
; - Distributividade sobre soma de escalares
.
Exemplo e comprovação:
com
e
. Verificou-se passo a passo que todas as 10 propriedades acima são satisfeitas, logo
é um espaço vetorial sobre
.