Nos Exercícios 25-28, determine os valores de com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em função de , o número de soluções do sistema
que é um sistema linear com parâmetro. O conteúdo envolvido é o estudo de postos (ranks) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para decidir se o sistema é impossível, tem solução única ou infinitas soluções.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada (Amid b):
Note que a primeira linha de A tem terceiro elemento igual a 1 e a segunda linha tem esse elemento igual a 0. Como não existe escalar k tal que
(1,2,1)=k,(2,a^2-5,0),
concluímos que as duas linhas de A são linearmente independentes, logo
rank(A)=2para todo a
Passo 3
De modo análogo, as duas linhas da matriz aumentada (Amid b) também não podem ser proporcionais (o terceiro elemento da primeira linha é 1 e da segunda é 0), de modo que
rank(Amid b)=2para todo a
Não há nenhum valor de a que torne rank(Amid b) maior que rank(A), portanto o sistema é sempre consistente.
Passo 4
Temos sempre
rank(A)=rank(Amid b)=2
e o número de incógnitas é 3. Como o posto é menor que o número de variáveis, o sistema possui infinitas soluções.
Resposta
O sistema não fica sem solução para nenhum valor de a, nunca tem solução única e tem infinitas soluções para todo ainR.