Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y+ z=2
2 x+(a^2-5) y=a-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função de a, o número de soluções do sistema
x + 2y + z = 2, 2x + l(a^2-5r)y = a - 1,
que é um sistema linear com parâmetro. O conteúdo envolvido é o estudo de postos (ranks) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada para decidir se o sistema é impossível, tem solução única ou infinitas soluções.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada (Amid b):
A = 1 & 2 & 1 2 & a^2-5 & 0 , (Amid b)= 1 & 2 & 1 & 2 2 & a^2-5 & 0 & a-1
Note que a primeira linha de A tem terceiro elemento igual a 1 e a segunda linha tem esse elemento igual a 0. Como não existe escalar k tal que
(1,2,1)=k,(2,a^2-5,0),
concluímos que as duas linhas de A são linearmente independentes, logo
rank(A)=2para todo a

Passo 3

De modo análogo, as duas linhas da matriz aumentada (Amid b) também não podem ser proporcionais (o terceiro elemento da primeira linha é 1 e da segunda é 0), de modo que
rank(Amid b)=2para todo a
Não há nenhum valor de a que torne rank(Amid b) maior que rank(A), portanto o sistema é sempre consistente.

Passo 4

Temos sempre
rank(A)=rank(Amid b)=2
e o número de incógnitas é 3. Como o posto é menor que o número de variáveis, o sistema possui infinitas soluções.

Resposta

O sistema não fica sem solução para nenhum valor de a, nunca tem solução única e tem infinitas soluções para todo ainR.

Exercícios relacionados