Se T: M(2,2) M(2,2) é a transformação linear definida por T(A)=B A-A B, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T, onde
B=[ll 1 & 2 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado define T:M(2,2)toM(2,2) por
T(A)=BA - AB,
onde
B=1&20&1
O objetivo é encontrar uma base e a dimensão de ker(T) e de Im(T). Para isso, vamos aplicar T a uma matriz genérica AinM(2,2), resolver T(A)=0 (núcleo) e caracterizar as matrizes possíveis em T(A) (imagem).

Passo 2

Seja
Calculamos
Logo

Passo 3

Para ker(T) impomos T(A)=0, ou seja
2c=0, 2(d-a)=0, -2c=0Longrightarrow c=0,;d=a
Não há condição sobre b e a. Assim
ker(T)=la&b0&a:a,binRr =spanl1&00&1,;0&10&0r,
logo dimker(T)=2.

Passo 4

Para a imagem, observamos que
T(A)=2c & d-a0&-c
varre todas as matrizes da forma
c&e0&-c com c,einR. Uma base conveniente é
1&00&-1, 0&10&0,
e portanto dimIm(T)=2.

Resposta

Núcleo:
ker(T)=spanl1&00&1,;0&10&0r, dimker(T)=2
Imagem:
Im(T)=spanl1&00&-1,;0&10&0r, dimIm(T)=2

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