Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que sua imagem seja gerada pela base B=(1,-1,2),(3,1,-2).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
;T:R^3toR^3
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
v1 = (1,-1,2), v2 = (3,1,-2)
Para isso vamos usar o fato de que uma transformação linear fica completamente determinada pelos valores em uma base do domínio.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de R^3,
e1,e2,e3,
e definimos
T(e1) = v1 = (1,-1,2), T(e2) = v2 = (3,1,-2), T(e3) = 0

Passo 3

Pela linearidade de T, para um vetor genérico
(x1,x2,x3)=x1e1 + x2e2 + x3e3
temos
T(x1,x2,x3) = x1,T(e1) + x2,T(e2) + x3,T(e3) = x1(1,-1,2) + x2(3,1,-2) + x3(0,0,0)

Passo 4

Somando coordenada a coordenada, obtemos
T(x1,x2,x3) = (,x1 + 3x2,;-x1 + x2,;2x1 - 2x2,)
Por construção, todo vetor da forma
(x1+3x2,,-x1+x2,,2x1-2x2)
está no span v1,v2, e não há nenhum outro vetor na imagem, pois x3 não contribui.

Resposta

Uma possibilidade é
cuja imagem é exatamente .

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