Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[ccccc-1 & 3 & 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5 & 0 & 0 2 & 1 & 2 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^5toR^3 por
T(v)=A,v,
com
A= -1 & 3 & 2 & 1 & 4 2 & 3 & 5 & 0 & 0 2 & 1 & 2 & 1 & 0
Precisamos encontrar
1. o núcleo ker(T)=vinR^5mid A,v=0 e dimker(T),
2. a imagem Im(T)=Col(A) e dimIm(T).

Passo 2

Resolvemos o sistema homogêneo
Fazendo eliminação gaussiana (ou resolvendo em cadeia), chegamos a expressar as coordenadas em função de livres:
Logo
Multiplicando cada vetor por para evitar frações, um sistema de geradores para é
]

Passo 3

Como temos duas variáveis livres ( x4 e x5), concluímos
dimker(T)=2

Passo 4

Para a imagem, basta observar as colunas pivôs de . A forma escalonada reduzida mostra pivôs em colunas , e . Portanto

Passo 5

Pelo teorema da dimensão (ou pelo número de colunas pivô),
dimIm(T)=3

Resposta

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