Nos itens abaixo, defina a transformação linear
por
e determine o núcleo e a imagem de
, bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado define
Tcolon R^5toR^3 por
com
Precisamos encontrar
1 . o núcleo
ker(T)=vinR^5mid A,v=0 e
dimker(T) ,
2 . a imagem
Im(T)=Col(A) e
dimIm(T) .
Passo 2
Resolvemos o sistema homogêneo
Fazendo eliminação gaussiana (ou resolvendo em cadeia), chegamos a expressar as coordenadas em função de livres:
Logo
Multiplicando cada vetor por
para evitar frações, um sistema de geradores para
é
Passo 3
Como temos duas variáveis livres (
x4 e
x5 ), concluímos
Passo 4
Para a imagem, basta observar as colunas pivôs de
. A forma escalonada reduzida mostra pivôs em colunas
,
e
. Portanto
Passo 5
Pelo teorema da dimensão (ou pelo número de colunas pivô),