Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(-1, y+z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se uma determinada função T é uma transformação linear. A função dada é:
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z) = (-1, y + z)
Para resolver isso, precisamos lembrar o que define uma transformação linear. Basicamente, uma função T é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v .
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u .
Vamos verificar se a função T satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T respeita a aditividade. Ou seja, precisamos ver se:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Vamos considerar dois vetores quaisquer em R^3 , digamos u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) .
Calculando u + v :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Aplicando T nesse vetor:
T(u + v) = (-1, (y1 + y2) + (z1 + z2)) = (-1, y1 + y2 + z1 + z2)
Agora, calculando T(u) + T(v) :
T(u) = (-1, y1 + z1)
T(v) = (-1, y2 + z2)
T(u) + T(v) = (-1 + (-1), (y1 + z1) + (y2 + z2)) = (-2, y1 + y2 + z1 + z2)
Comparando os dois resultados:
T(u + v) = (-1, y1 + y2 + z1 + z2)
T(u) + T(v) = (-2, y1 + y2 + z1 + z2)
Vemos que o primeiro componente não é igual ( -1 neq -2), então a aditividade não é satisfeita.

Passo 3

Mesmo que já tenhamos visto que a aditividade não é satisfeita, vamos também conferir a homogeneidade para completar a análise.
Queremos verificar se:
T(cu) = cT(u)
Tomando u = (x, y, z) e um escalar c :
cu = (cx, cy, cz)
T(cu) = (-1, cy + cz)
cT(u) = c(-1, y + z) = (-c, cy + cz)
Comparando:
T(cu) = (-1, cy + cz)
cT(u) = (-c, cy + cz)
Para que isso seja válido para todo c , teríamos que -1 = -c, o que só é verdade se c = 1 . Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita para valores de c diferentes de 1.

Resposta

Como a função T não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade, podemos concluir que T não é uma transformação linear.

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