Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se uma determinada função
é uma transformação linear. A função dada é:
Para resolver isso, precisamos lembrar o que define uma transformação linear. Basicamente, uma função
é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
respeita a aditividade. Ou seja, precisamos ver se:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
.
Calculando
:
Aplicando
nesse vetor:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados:
Vemos que o primeiro componente não é igual (
), então a aditividade não é satisfeita.
Passo 3
Mesmo que já tenhamos visto que a aditividade não é satisfeita, vamos também conferir a homogeneidade para completar a análise.
Queremos verificar se:
Tomando
e um escalar
:
Comparando:
Para que isso seja válido para todo
, teríamos que
, o que só é verdade se
. Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita para valores de
diferentes de 1.
Resposta
Como a função
não satisfaz nem a aditividade nem a homogeneidade, podemos concluir que
não é uma transformação linear.