Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
T: P2(R) longrightarrow P3(R), T(p(x))=p(x)+x^2 p^prime(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para verificar se uma certa função, chamada T , é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios, especificamente polinômios de grau até 2 ( P2(R) ) e mapeando para polinômios de grau até 3 ( P3(R) ). Para resolver isso, precisamos lembrar o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos para ver se T se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação T entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais para todos os vetores u e v e para todo escalar c :
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Então, para verificar se T é linear, precisamos testar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Pegamos dois polinômios quaisquer p(x) e q(x) em P2(R) e vemos como T se comporta:
T(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) + x^2(p(x) + q(x))'
Primeiro, calculamos a derivada:
(p(x) + q(x))' = p'(x) + q'(x)
Então:
T(p(x) + q(x)) = p(x) + q(x) + x^2(p'(x) + q'(x))
Agora, vamos calcular T(p(x)) + T(q(x)) :
T(p(x)) + T(q(x)) = [p(x) + x^2p'(x)] + [q(x) + x^2q'(x)]
= p(x) + q(x) + x^2p'(x) + x^2q'(x)
= p(x) + q(x) + x^2(p'(x) + q'(x))
Observamos que:
T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x))
Então, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Vamos pegar um polinômio p(x) em P2(R) e um escalar c , e ver como T age sobre c cdot p(x) :
T(c cdot p(x)) = c cdot p(x) + x^2(c cdot p(x))'
Calculando a derivada:
(c cdot p(x))' = c cdot p'(x)
Então:
T(c cdot p(x)) = c cdot p(x) + x^2(c cdot p'(x))
= c cdot p(x) + c cdot x^2p'(x)
= c cdot (p(x) + x^2p'(x))
= c cdot T(p(x))
Portanto, temos que:
T(c cdot p(x)) = c cdot T(p(x))
A propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Sim, a aplicação T é uma transformação linear.

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