Verifique se as seguintes aplicações são transformações lineares:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para verificar se uma certa função, chamada
, é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios, especificamente polinômios de grau até 2 (
) e mapeando para polinômios de grau até 3 (
). Para resolver isso, precisamos lembrar o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos para ver se
se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Em álgebra linear, uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela respeita duas propriedades principais para todos os vetores
e
e para todo escalar
:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Então, para verificar se
é linear, precisamos testar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição. Pegamos dois polinômios quaisquer
e
em
e vemos como
se comporta:
Primeiro, calculamos a derivada:
Então:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que:
Então, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
, e ver como
age sobre
:
Calculando a derivada:
Então:
Portanto, temos que:
A propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Sim, a aplicação
é uma transformação linear.