Determine uma transformação linear T tal que:
T(1,1)=(3,1,0) T(0,1)=(-1,1,2)
Apresente as etapas do desenvolvimento (1,2 ponto).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^2 to R^3 tal que
T(1,1)=(3,1,0)e T(0,1)=(-1,1,2)
O conteúdo é usar a extensão por linearidade a partir dos valores de T em uma base de R^2.

Passo 2

Verificamos que os vetores (1,1) e (0,1) formam uma base de R^2, pois a matriz cujas colunas são esses vetores tem determinante
det1 & 0 1 & 1=1neq0

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico
Isso gera o sistema
cuja solução é .

Passo 4

Pela linearidade de T temos
T(x,y)=Tl(a,(1,1)+b,(0,1)r)=a,T(1,1)+b,T(0,1)
Substituindo a=x e b=y-x obtemos
T(x,y)=x,(3,1,0)+(y-x),(-1,1,2)

Passo 5

Fazendo as operações coordenada a coordenada, chega-se a
T(x,y)=l(3x-(y-x),;x+(y-x),;2(y-x)r)=(4x-y,;y,;2y-2x)

Resposta

A transformação linear pedida é
T(x,y)=(4x - y,;y,;2y - 2x)

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