Duas partículas
e
se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partícula inicia seu movimento em
e se move com velocidade
na direção do vetor
, a segunda partícula começa no ponto B :
e se move com velocidade
na direção oposta ao vetor
.
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção.
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção.
Passo 1
O enunciado trata de duas partículas movendo-se em linha reta com velocidade constante, ou seja, cada trajetória é uma reta paramétrica no espaço. A primeira parte do exercício já foi feita (encontrar a equação paramétrica de cada reta); nesta segunda parte vamos verificar que essas retas se cruzam e determinar o ponto de interseção. Para isso, precisaremos:
- Expressar cada trajetória na forma
. - Igualar as duas expressões e resolver para os parâmetros que tornam os pontos coincidentes.
- Substituir o valor do parâmetro numa das retas para obter o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, relembramos as equações paramétricas das trajetórias (obtidas usando a direção unitária vezes a velocidade):
A partícula sai de
com vetor direção
de módulo
e rapidez
, logo
A partícula
e
A partícula
sai de
com direção oposta a
, ou seja
de módulo
e rapidez
, logo
e
Passo 3
Para verificar interseção, igualamos
Da segunda equação vem dá
e daí
Verificando na terceira equação nota-se que ela também fica satisfeita, mostrando que há realmente interseção.
Passo 4
Para achar o ponto
, basta usar
em
:
Resposta
O ponto de interseção é