Duas partículas P1 e P2 se movem retilineamente e uniformemente. A primeira partícula inicia seu movimento em A:(1,1,2) e se move com velocidade v=14 na direção do vetor (-3,6,-2), a segunda partícula começa no ponto B : (0,1,4) e se move com velocidade v=13 na direção oposta ao vetor (-4,-3,12).
b) Mostre que suas trajetórias se interceptam e ache o ponto P de intersecção.

Passo 1

O enunciado trata de duas partículas movendo-se em linha reta com velocidade constante, ou seja, cada trajetória é uma reta paramétrica no espaço. A primeira parte do exercício já foi feita (encontrar a equação paramétrica de cada reta); nesta segunda parte vamos verificar que essas retas se cruzam e determinar o ponto de interseção. Para isso, precisaremos:
  1. Expressar cada trajetória na forma r(t)=r0 + t,v.
  2. Igualar as duas expressões e resolver para os parâmetros que tornam os pontos coincidentes.
  3. Substituir o valor do parâmetro numa das retas para obter o ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, relembramos as equações paramétricas das trajetórias (obtidas usando a direção unitária vezes a velocidade):
A partícula P1 sai de A=(1,1,2) com vetor direção (-3,6,-2) de módulo 7 e rapidez 14, logo
v1 = 14cdot(-3,6,-2)7 =(-6,12,-4),
e
r1(t)= (1,1,2) + t,(-6,12,-4)
A partícula P2 sai de B=(0,1,4) com direção oposta a (-4,-3,12), ou seja (4,3,-12) de módulo 13 e rapidez 13, logo
v2 =13cdot(4,3,-12)13 =(4,3,-12),
e
r2(s)= (0,1,4) + s,(4,3,-12)

Passo 3

Para verificar interseção, igualamos
Da segunda equação vem
e daí Verificando na terceira equação nota-se que ela também fica satisfeita, mostrando que há realmente interseção.

Passo 4

Para achar o ponto P, basta usar t=tfrac122 em r1(t):
r1l(tfrac122r) = l(1,1,2r) + tfrac122,(-6,12,-4) = l(1-tfrac622,,1+tfrac1222,,2-tfrac422r) = l(tfrac811,,tfrac1711,,tfrac2011r)

Resposta

O ponto de interseção é
P = l(tfrac811,,tfrac1711,,tfrac2011r)

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