Sejam as bases A=(1,1),(2,1) e B=(1,2),(0,1) de R^2 e o operador linear T: R^2 R^2 :
T(x, y)=(x+y, 2 y-x)
Determinar a matriz do operador T da base A para B,[T]B^A (1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T que leva coordenadas na base A=(1,1),(2,1) para coordenadas na base B=(1,2),(0,1). Em outras palavras, precisamos pegar cada vetor de A, aplicar T, e então escrever o resultado como combinação linear dos vetores de B. As colunas da matriz [T]B^A são justamente esses coeficientes.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base A. Chamemos v1=(1,1) e v2=(2,1).
T(1,1) = (1+1,;2cdot1 -1) = (2,1),
T(2,1) = (2+1,;2cdot1 -2) = (3,0)

Passo 3

Expressar T(v1)=(2,1) na base B. Buscamos alpha,beta tais que
alpha,(1,2) + beta,(0,1) = (2,1)
Pela primeira coordenada vem alpha=2. Substituindo na segunda,
2cdot2 + beta = 1 Longrightarrow beta = -3
Logo
[T(v1)]B = 2-3

Passo 4

Expressar T(v2)=(3,0) na base B. Queremos gamma,de<a tais que
gamma,(1,2) + de<a,(0,1) = (3,0)
Da primeira coordenada gamma=3. Na segunda:
2cdot3 + de<a = 0 Longrightarrow de<a = -6
Portanto
[T(v2)]B = 3-6

Passo 5

Montar a matriz [T]B^A colocando as coordenadas de T(v1) e T(v2) como colunas:
[T]B^A = 2 & 3 -3 & -6

Resposta

[T]B^A = 2 & 3 -3 & -6

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