Determine a transformação linear T: R^2 R^3 tal que [T]B^C=[rr0 & 2 -1 & 0 -1 & 3], onde B=(1,1),(0,1) e C=(0,3,0),(-1,0,0),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear Tcolon R^2to R^3 cuja matriz relativa às bases \r
,B=b1,b2=(1,1),(0,1) e \r
,C=c1,c2,c3=(0,3,0),,(-1,0,0),,(0,1,1) é \r
[T]B^C= 0 & 2 -1&0 -1&3 \r
Cada coluna dá as coordenadas de T(bj) em C. Nosso plano é:\r
  1. Calcular T(b1) e T(b2) em coordenadas canônicas. \r
  2. Escrever um vetor genérico (x,y) em coordenadas de B. \r
  3. Combinar para achar T(x,y) no sistema canônico.

Passo 2

Das colunas de [T]B^C temos:\r
[T(b1)]C=0-1-1, [T(b2)]C=203 \r
Isto é,\r
T(b1)=0,c1-1,c2-1,c3=-c2-c3
T(b2)=2,c1+0,c2+3,c3=2c1+3c3 \r
Substituindo c1=(0,3,0), c2=(-1,0,0), c3=(0,1,1) obtemos em coordenadas canônicas:\r
T(b1)=-(-1,0,0)-(0,1,1)=(1,0,0)-(0,1,1)=(1,-1,-1),
T(b2)=2(0,3,0)+3(0,1,1)=(0,6,0)+(0,3,3)=(0,9,3)

Passo 3

Seja um vetor genérico (x,y)in R^2. Queremos alpha,beta tais que\r
alpha,b1+beta,b2=(x,y),
ou seja\r
alpha(1,1)+beta(0,1)=(alpha,alpha+beta)=(x,y) \r
Daí alpha=x e alpha+beta=yimpliesbeta=y-x. Logo\r
(x,y)=x,b1+(y-x),b2

Passo 4

Usando linearidade,\r
T(x,y)=Tl(x,b1+(y-x),b2r) =x,T(b1)+(y-x),T(b2) \r
Substituindo T(b1)=(1,-1,-1) e T(b2)=(0,9,3) dá\r
T(x,y) =x(1,-1,-1)+(y-x)(0,9,3) =(x,-x,-x)+(0,9y-9x,3y-3x) \r
Somando coordenada a coordenada:\r
T(x,y)=(x,,-x+9y-9x,,-x+3y-3x)=(x,;9y-10x,;3y-4x)

Resposta

Portanto,\r
T(x,y)=(x,;9y-10x,;3y-4x), \r
ou seja, na base canônica,\r
[T]= 1 & 0 -10&9 -4&3

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