Verifique se o vetor v dado é autovetor do correspondente operador linear.
(a) v=(-2,1),[T]C=[ll2 & 2 1 & 3] e C base canônica de R^2.
(b) v=(1,1,2),[T]C=[lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3] e C é a base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor v é autovetor de um operador linear T cuja matriz na base canônica é conhecida. Lembrando que v é autovetor se existir lambda tal que
T(v)=lambda,v
Vamos então calcular T(v) multiplicando a matriz pelo vetor e ver se o resultado é múltiplo de v.

Passo 2

Para (a) temos
[T]C=2 & 2 1 & 3, v=-21
Calculando
T(v)=2 & 2 1 & 3-21 =2cdot(-2)+2cdot11cdot(-2)+3cdot1 =-21
Como T(v)=(-2,1)^T=v, concluímos que lambda=1 e, portanto, v é autovetor de T.

Passo 3

Para (b) temos
[T]C=1 & 1 & 10 & 2 & 10 & 2 & 3, v=112
Calculando
T(v)=1+1+20+2+20+2+6 =448
Observamos que
448 =4112 =4,v,
logo lambda=4 e v também é autovetor de T.

Resposta

(a) v é autovetor de T com lambda=1.
(b) v é autovetor de T com lambda=4.

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