Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda, justificando cada item.
(a) Qual a dimensão do domínio de T ?
(b) T é invertível?
(c) Quantos autoespaços tem T ?
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de T ?
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de T, se soubermos que T é diagonalizável?
(f) Seja v1, v2, v3 um conjunto L.I. de autovetores de T, todos associados ao mesmo autovalor. O que podemos dizer sobre este autovalor?

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio característico de um operador linear T como
p(x)=x,(x+2)^2,(x-2)^3,(x-3)^4
O conteúdo aqui é teoria de operadores lineares finito-dimensionais: dimensão do espaço, invertibilidade, autovalores e autoespaços, multiplicidades algébrica e geométrica, e diagonalização.

Passo 2

Para (a), a dimensão do domínio de T é igual ao grau do polinômio característico, que é a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Logo, dim(dom T)=10.
Para (b), T é invertível se, e somente se, 0 não for raiz de p(x). Como p(0)=0 (multiplicidade algébrica de 0 é 1), vemos que 0 é autovalor de T. Portanto, T não é invertível.

Passo 3

Para (c), o número de autoespaços de T é o número de autovalores distintos. Os fatores lineares em p(x) são x, x+2, x-2 e x-3, ou seja, há 4 autovalores distintos. Logo, há 4 autoespaços.

Passo 4

Para (d), sabemos que a dimensão de cada autoespaço (multiplicidade geométrica) satisfaz
1 <= dim Elambda <= mu<iplicidade algébrica de lambda é
Assim:
lambda=0 &: 1 <= dim E0 <= 1, lambda=-2 &: 1 <= dim E-2 <= 2, lambda=2 &: 1 <= dim E2 <= 3, lambda=3 &: 1 <= dim E3 <= 4

Passo 5

Para (e), se T é diagonalizável, então em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica. Logo,
dim E0=1, dim E-2=2, dim E2=3, dim E3=4

Passo 6

Para (f), se existe um conjunto linearmente independente de 3 autovetores todos associados ao mesmo autovalor lambda, então a multiplicidade geométrica de lambda é >=3, e portanto sua multiplicidade algébrica também é >=3. Dos autovalores dados, apenas lambda=2 (algébrica 3) e lambda=3 (algébrica 4) têm essa propriedade. Assim, lambda deve ser 2 ou 3.

Resposta

(a) dim(dom T)=10.
(b) T não é invertível.
(c) T tem 4 autoespaços.
(d) Para cada autovalor lambda, 1 <= dim Elambda <= multiplicidade algébrica; isto é,
dim E0=1, 1<=dim E-2<=2, 1<=dim E2<=3, 1<=dim E3<=4.
(e) Se T é diagonalizável então dim E0=1, dim E-2=2, dim E2=3, dim E3=4.
(f) O autovalor em questão deve ter multiplicidade algébrica >=3, logo lambda=2 ou lambda=3.

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