Suponha que o polinômio característico do operador linear
seja
. Responda, justificando cada item.
(a) Qual a dimensão do domínio de
?
(b) T é invertível?
(c) Quantos autoespaços tem
?
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
?
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
, se soubermos que
é diagonalizável?
(f) Seja
um conjunto L.I. de autovetores de
, todos associados ao mesmo autovalor. O que podemos dizer sobre este autovalor?
(a) Qual a dimensão do domínio de
(b) T é invertível?
(c) Quantos autoespaços tem
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
(f) Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio característico de um operador linear
como
O conteúdo aqui é teoria de operadores lineares finito-dimensionais: dimensão do espaço, invertibilidade, autovalores e autoespaços, multiplicidades algébrica e geométrica, e diagonalização.
Passo 2
Para (a), a dimensão do domínio de
é igual ao grau do polinômio característico, que é a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores:
Logo,
.
Para (b),
é invertível se, e somente se,
não for raiz de
. Como
(multiplicidade algébrica de
é 1), vemos que
é autovalor de
. Portanto,
não é invertível.
Passo 3
Para (c), o número de autoespaços de
é o número de autovalores distintos. Os fatores lineares em
são
,
,
e
, ou seja, há 4 autovalores distintos. Logo, há 4 autoespaços.
Passo 4
Para (d), sabemos que a dimensão de cada autoespaço (multiplicidade geométrica) satisfaz
Assim:
Passo 5
Para (e), se
é diagonalizável, então em cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica. Logo,
Passo 6
Para (f), se existe um conjunto linearmente independente de 3 autovetores todos associados ao mesmo autovalor
, então a multiplicidade geométrica de
é
, e portanto sua multiplicidade algébrica também é
. Dos autovalores dados, apenas
(algébrica 3) e
(algébrica 4) têm essa propriedade. Assim,
deve ser
ou
.
Resposta
(a)
.
(b) não é invertível.
(c) tem 4 autoespaços.
(d) Para cada autovalor ,
multiplicidade algébrica; isto é,
,
,
,
.
(e) Se é diagonalizável então
,
,
,
.
(f) O autovalor em questão deve ter multiplicidade algébrica , logo
ou
.
(b)
(c)
(d) Para cada autovalor
(e) Se
(f) O autovalor em questão deve ter multiplicidade algébrica