Sejam e e um operador linear em tal que [ .
(a) Para que valores de e o operador é um isomorfismo?
(b) Para que valores de e o núcleo de terá dimensão 1?
(c) Para que valores de e o núcleo de terá dimensão 2?
(d) A dimensão do núcleo de pode ser 3?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em , , e ,
e um operador linear tal que .
Pelo Teorema do posto-nulidade vale
Para cada parte vamos achar observando a independência linear de e então usar posto-nulidade.
Passo 2
Se , a matriz de em base canônica tem colunas .
Denote
O determinante de M é
det M =1cdotdet0 & b1 & c -acdotdet2 & b-1 & c +1cdotdet2 & 0-1 & 1 =2 - b - a,(2c+b)
Passo 3
(a) é isomorfismo e .
Logo
Passo 4
(b) as colunas de têm posto 2.
Isto exige
ã
Escolhendo o menor das colunas 1 e 2: .
Portanto
Passo 5
(c) , ou seja, todos colineares.
Mas e nunca são colineares para qualquer (basta ver que não existe tal que ).
Logo não há solução e é impossível.
Passo 6
(d) , ou seja, todos os . Mas .
Portanto é impossível ter .
Resposta
(a) .
(b) .
(c) não existe com .
(d) não é possível .