Sejam u1=(1,2,-1), u2=(a, 0,1) e u3=(1, b, c) e T um operador linear em R^3 tal que Im(T)= [ u1, u2, u3].
(a) Para que valores de a, b e c o operador é um isomorfismo?
(b) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 1?
(c) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 2?
(d) A dimensão do núcleo de T pode ser 3?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em ,
, e ,
e um operador linear tal que
.
Pelo Teorema do posto-nulidade vale
Para cada parte vamos achar observando a independência linear de e então usar posto-nulidade.

Passo 2

Se T(ei)=ui, a matriz de T em base canônica tem colunas u1,u2,u3.
Denote
M=l[,u1;u2;u3r] = 1 & a & 1 2 & 0 & b -1& 1 & c
O determinante de M é
det M =1cdotdet0 & b1 & c -acdotdet2 & b-1 & c +1cdotdet2 & 0-1 & 1 =2 - b - a,(2c+b)

Passo 3

(a) é isomorfismo e .
Logo

Passo 4

(b) as colunas de têm posto 2.
Isto exige
ã
Escolhendo o menor das colunas 1 e 2:

.
Portanto

Passo 5

(c) , ou seja, todos colineares.
Mas e nunca são colineares para qualquer (basta ver que não existe tal que ).
Logo não há solução e é impossível.

Passo 6

(d) , ou seja, todos os . Mas .
Portanto é impossível ter .

Resposta

(a) .
(b) .
(c) não existe com .
(d) não é possível .

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