Determine se as transformações abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz M que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y, z)=(5 x+6 y+2 z,-y-8 z, x-2 z);
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T(x,y,z) = (5x + 6y + 2z,\;-y - 8z,\;x - 2z)
em \mathbb{R}^3 é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é diagonalização de operador linear: montar a matriz em base canônica, encontrar polinômio característico, autovalores, autovetores e comparar multiplicidades algébrica e geométrica.
Dessas equações segue y=-2z\], \(x=5z, ou seja o espaço próprio tem dimensão geométrica 1, menor que a algébrica 2.
Para \lambda=-4, obtemos um autovetor não-nulo, mas isso dá dimensão geométrica 1, igual à algébrica 1.
Passo 6
Como a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb{R}^3 formada só por autovetores de T. Portanto Tnão é diagonalizável.