Determine se as transformações abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz M que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} com T(x, y, z)=(5 x+6 y+2 z,-y-8 z, x-2 z);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T(x,y,z) = (5x + 6y + 2z,\;-y - 8z,\;x - 2z)
em \mathbb{R}^3 é diagonalizável. O conteúdo que vamos usar é diagonalização de operador linear: montar a matriz em base canônica, encontrar polinômio característico, autovalores, autovetores e comparar multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} é
A = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 2\\\\ 0 & -1 & -8\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 6 & 2\\\\ 0 & -1-\lambda & -8\\\\ 1 & 0 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando, obtemos
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + 2\lambda^2 +15\lambda -36
ou seja
\lambda^3 -2\lambda^2 -15\lambda +36 = 0.

Passo 4

Fatorando \lambda^3 -2\lambda^2 -15\lambda +36, encontramos
\lambda^3 -2\lambda^2 -15\lambda +36 = (\lambda-3)^2(\lambda+4).
Logo os autovalores são
\lambda = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda = -4\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 5

Para \lambda=3\), resolvemos \((A-3I)v=0\): \[\begin{cases} 2x + 6y + 2z = 0,\\\\ -4y -8z = 0,\\\ x -5z = 0. \end{cases}
Dessas equações segue y=-2z\], \(x=5z, ou seja o espaço próprio tem dimensão geométrica 1, menor que a algébrica 2.
Para \lambda=-4, obtemos um autovetor não-nulo, mas isso dá dimensão geométrica 1, igual à algébrica 1.

Passo 6

Como a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb{R}^3 formada só por autovetores de T. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável.

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