Sejam V=\mathbb{R}^{2} e os vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right). Verifique se as seguintes funções são produtos internos sobre \mathbb{R}^{2}. (Para aquelas que não são produtos internos, cite os axiomas que não se verificam).
\langle u, v\rangle=x_{1} x_{2}+y_{1}^{3} y_{2}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 a aplicação
\langle u,v\rangle = x_1x_2 + y_1^3y_2,
em que u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), e pede para verificar se isso é produto interno em \mathbb{R}^2. Para ser produto interno, a aplicação deve satisfazer três axiomas principais:
  1. Positividade e definitude positiva: \langle u,u\rangle\ge0 para todo u e \langle u,u\rangle=0 só quando u=0.
  2. Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
  3. Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para todo escalar \alpha e vetores u,u',v, \langle u+u',v\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u',v\rangle, \quad \langle \alpha u,v\rangle = \alpha\langle u,v\rangle,e analogamente no segundo argumento.

Passo 2

Verificamos positividade e definitude positiva calculando \langle u,u\rangle:
\langle u,u\rangle = x_1^2 + y_1^4.
Como x_1^2\ge0 e y_1^4\ge0 para todo x_1,y_1, segue \langle u,u\rangle\ge0. Além disso,
\langle u,u\rangle = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1^2=0\text{ e }y_1^4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_1=0\text{ e }y_1=0,
logo \langle u,u\rangle=0 só ocorre se u=0. Portanto, o axioma de positividade e definitude positiva está satisfeito.

Passo 3

Testamos a simetria comparando \langle u,v\rangle e \langle v,u\rangle:
\langle u,v\rangle = x_1x_2 + y_1^3y_2, \quad \langle v,u\rangle = x_2x_1 + y_2^3y_1 = x_1x_2 + y_2^3y_1.
Em geral y_1^3y_2 \neq y_2^3y_1 (por exemplo, se y_1=2 e y_2=1, então 2^3\cdot1=8\neq1^3\cdot2=2). Logo o axioma de simetria não se verifica.

Passo 4

Testamos linearidade em, digamos, primeiro argumento. Tome escalar \alpha e vetores u,v. Então
\langle \alpha u,v\rangle = (\alpha x_1)x_2 + (\alpha y_1)^3y_2 = \alpha\,x_1x_2 + \alpha^3\,y_1^3y_2
que não coincide com
\alpha\langle u,v\rangle = \alpha\bigl(x_1x_2 + y_1^3y_2\bigr) = \alpha\,x_1x_2 + \alpha\,y_1^3y_2,
a menos que \alpha=0 ou y_1y_2=0. Assim falha o axioma de bilinearidade.

Resposta

A aplicação não é produto interno, pois não satisfaz nem o axioma de simetria nem o de bilinearidade.

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