Sejam
e os vetores
. Verifique se as seguintes funções são produtos internos sobre
. (Para aquelas que não são produtos internos, cite os axiomas que não se verificam).
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
em que
e
, e pede para verificar se isso é produto interno em
. Para ser produto interno, a aplicação deve satisfazer três axiomas principais:
- Positividade e definitude positiva:
para todo e só quando . - Simetria:
. - Bilinearidade (linearidade em cada argumento): para todo escalar
e vetores , e analogamente no segundo argumento.
Passo 2
Verificamos positividade e definitude positiva calculando
:
Como
e
para todo
, segue
. Além disso,
logo
só ocorre se
. Portanto, o axioma de positividade e definitude positiva está satisfeito.
Passo 3
Testamos a simetria comparando
e
:
Em geral
(por exemplo, se
e
, então
). Logo o axioma de simetria não se verifica.
Passo 4
Testamos linearidade em, digamos, primeiro argumento. Tome escalar
e vetores
. Então
que não coincide com
a menos que
ou
. Assim falha o axioma de bilinearidade.
Resposta
A aplicação não é produto interno, pois não satisfaz nem o axioma de simetria nem o de bilinearidade.