Determine se as transformações abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz
que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante.
com
.
Passo 1
Estamos com a aplicação linear
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: para ver se dá pra diagonalizar precisamos achar os autovalores e seus autovetores sobre
. Se não surgirem dois autovalores reais distintos (ou uma base de autovetores reais), não dá para diagonalizar em
.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica
:
Para encontrar os autovalores
, montamos o polinômio característico
.]
Passo 3
Calculamos
Expandindo,
Logo o polinômio característico é
Passo 4
O discriminante é
Isso mostra que os dois autovalores são complexos conjugados
. Logo não existem autovalores reais, muito menos duas direções reais de autovetores.
Resposta
A transformação
não é diagonalizável sobre
, pois não há autovalores reais.