Determine se as transformações abaixo são diagonalizáveis. Em caso afirmativo, determine uma matriz M que realiza a diagonalização e determine a matriz diagonal resultante.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com T(x, y)=(3 x-2 y, 2 x+y).

Passo 1

Estamos com a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (3x-2y,\;2x+y).
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: para ver se dá pra diagonalizar precisamos achar os autovalores e seus autovetores sobre \mathbb{R}. Se não surgirem dois autovalores reais distintos (ou uma base de autovetores reais), não dá para diagonalizar em \mathbb{R}.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}:
A = \begin{pmatrix} 3 & -2\\[6pt] 2 & \;1 \end{pmatrix}.
Para encontrar os autovalores \lambda, montamos o polinômio característico \det(A - \lambda I).]

Passo 3

Calculamos
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -2\\[3pt] 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (-2)\cdot 2.
Expandindo,
(3-\lambda)(1-\lambda) + 4 = \bigl(3 -4\lambda +\lambda^2\bigr) +4 = \lambda^2 -4\lambda +7.
Logo o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2 -4\lambda +7.]

Passo 4

O discriminante é
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot7 = 16 -28 = -12 < 0.
Isso mostra que os dois autovalores são complexos conjugados
\lambda = 2\pm i\sqrt{3}. Logo não existem autovalores reais, muito menos duas direções reais de autovetores.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável sobre \mathbb{R}, pois não há autovalores reais.

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