Sejam V=\mathbb{R}^{2} e os vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right). Verifique se as seguintes funções são produtos internos sobre \mathbb{R}^{2}. (Para aquelas que não são produtos internos, cite os axiomas que não se verificam).
\langle u, v\rangle=4 x_{1} x_{2}+5 y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 o aplicativo
\langle u,v\rangle \;=\;4\,x_{1}x_{2}+5\,y_{1}y_{2},
onde u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}).
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno num espaço vetorial real:
  1. simetria,
  2. bilinearidade (linear em cada argumento),
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificação de simetria e bilinearidade em relação ao primeiro fator:
  • Simetria: pela comutatividade do produto real,
\langle u,v\rangle =4x_{1}x_{2}+5y_{1}y_{2} =4x_{2}x_{1}+5y_{2}y_{1} =\langle v,u\rangle.
  • Aditividade no primeiro argumento: sejam u'=(x_{1}',y_{1}') e w=(x_{2},y_{2}). Então
\langle u+u',w\rangle =4\,(x_{1}+x_{1}')\,x_{2} +5\,(y_{1}+y_{1}')\,y_{2} =4x_{1}x_{2}+4x_{1}'x_{2}+5y_{1}y_{2}+5y_{1}'y_{2} =\langle u,w\rangle+\langle u',w\rangle.
  • Homogeneidade no primeiro argumento: para \alpha\in\mathbb{R},
\langle \alpha u,v\rangle =4\,(\alpha x_{1})\,x_{2}+5\,(\alpha y_{1})\,y_{2} =\alpha\bigl(4x_{1}x_{2}+5y_{1}y_{2}\bigr) =\alpha\langle u,v\rangle.
Pela simetria, segue também linearidade em relação ao segundo argumento.

Passo 3

Verificação da positividade definida:
\langle u,u\rangle =4x_{1}^{2}+5y_{1}^{2}.
Como 4>0 e 5>0, temos sempre \langle u,u\rangle\ge0.
Além disso, \langle u,u\rangle=0 implica 4x_{1}^{2}=0 e 5y_{1}^{2}=0, ou seja x_{1}=0 e y_{1}=0, isto é u=0.

Resposta

A aplicação \langle u,v\rangle=4x_{1}x_{2}+5y_{1}y_{2} satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida. Portanto, é um produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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