Sejam
e os vetores
. Verifique se as seguintes funções são produtos internos sobre
. (Para aquelas que não são produtos internos, cite os axiomas que não se verificam).
Passo 1
O enunciado define em
o aplicativo
onde
e
.
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno num espaço vetorial real:
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno num espaço vetorial real:
- simetria,
- bilinearidade (linear em cada argumento),
- positividade definida.
Passo 2
Verificação de simetria e bilinearidade em relação ao primeiro fator:
- Simetria: pela comutatividade do produto real,
- Aditividade no primeiro argumento: sejam
e . Então
- Homogeneidade no primeiro argumento: para
,
Pela simetria, segue também linearidade em relação ao segundo argumento.
Passo 3
Verificação da positividade definida:
Como
e
, temos sempre
.
Além disso, implica
e
, ou seja
e
, isto é
.
Além disso,
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida. Portanto, é um produto interno em
.