Determine se as transformações abaixo são lineares, e justifique:
T: M(2,2) R ; T([lla & b c & d])=a+d

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon M(2,2)toR
em que, para
A=a & b c & d,
temos
T(A)=a+d
O conteúdo aqui é “transformações lineares em espaços vetoriais”. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade: sejam
A=a1 & b1 c1 & d1 e B=a2 & b2 c2 & d2
Então
A+B =a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2,
e
T(A+B)=(a1+a2)+(d1+d2) =(a1+d1)+(a2+d2) =T(A)+T(B)

Passo 3

Verificação da homogeneidade: seja lambdainR. Então
lambda A =lambda a & lambda b lambda c & lambda d,
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T(lambda A)=lambda a+lambda d =lambda,(a+d) =lambda,T(A)

Passo 4

Como T satisfaz
T(A+B)=T(A)+T(B) e T(lambda A)=lambda,T(A),
concluímos que T é de fato uma transformação linear (é, na verdade, o traço da matriz).

Resposta

A transformação T(A)=a+d é linear.

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