Determine se as transformações abaixo são lineares, e justifique:
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
em que, para
temos
O conteúdo aqui é “transformações lineares em espaços vetoriais”. Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Verificação da aditividade: sejam
Então
e
Passo 3
Verificação da homogeneidade: seja
. Então
logo
Passo 4
Como
satisfaz
concluímos que
é de fato uma transformação linear (é, na verdade, o traço da matriz).
Resposta
A transformação
é linear.