Determine se as transformações abaixo são lineares, e justifique:
T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x+2 y-z, x-2 z, 3 x+z+1)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x + 2y - z,;x - 2z,;3x + z + 1,)
e pede para verificar se ela é linear.
Para isso, vamos usar a propriedade fundamental de uma transformação linear: ela deve mandar o vetor zero em zero, ou seja,
T(0) = 0

Passo 2

Calculemos T em (0,0,0):
T(0,0,0) = l(0 + 2cdot0 - 0,;0 - 2cdot0,;3cdot0 + 0 + 1r) = (0,;0,;1)
Como
T(0,0,0) = (0,0,1) neq (0,0,0),
já concluímos que T não pode ser linear (toda transformação linear satisfaz T(0)=0).

Resposta

A transformação T não é linear, pois ela não envia o vetor zero em zero.

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