Determine se as transformações abaixo são lineares, e justifique:
T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a transformação T: R^2 R^3 , definida por T(x, y) = (x+y, x-2y, 3x+y) , é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Precisamos verificar duas coisas principais: se a transformação preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u, v e qualquer escalar c , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 2(y1 + y2), 3(x1 + x2) + (y1 + y2))
Simplificando:
= (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 2y1 - 2y2, 3x1 + 3x2 + y1 + y2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = (x1 + y1, x1 - 2y1, 3x1 + y1)
T(v) = (x2 + y2, x2 - 2y2, 3x2 + y2)
T(u) + T(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - 2y1 + x2 - 2y2, 3x1 + y1 + 3x2 + y2)
Comparando com T(u + v) , vemos que são iguais. Portanto, a propriedade de adição de vetores é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos considerar um escalar c e um vetor u = (x, y) . Então:
T(cu) = T(cx, cy) = (cx + cy, cx - 2cy, 3cx + cy)
Simplificando:
= c(x + y, x - 2y, 3x + y)
Agora, calculando cT(u) :
T(u) = (x + y, x - 2y, 3x + y)
cT(u) = c(x + y, x - 2y, 3x + y) = (c(x + y), c(x - 2y), c(3x + y))
= (cx + cy, cx - 2cy, 3cx + cy)
Novamente, vemos que T(cu) = cT(u) , então a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação T(x, y) = (x+y, x-2y, 3x+y) satisfaz as propriedades de preservação da adição de vetores e da multiplicação por escalar, podemos concluir que a transformação é linear.

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