Determine se as transformações abaixo são lineares, e justifique:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Precisamos verificar duas coisas principais: se a transformação preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam
e
. Então:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade de adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos considerar um escalar
e um vetor
. Então:
Simplificando:
Agora, calculando
:
Novamente, vemos que
, então a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz as propriedades de preservação da adição de vetores e da multiplicação por escalar, podemos concluir que a transformação é linear.