Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre transformações lineares. A questão é verificar se a transformação é invertível. Se for, a gente também precisa encontrar a transformação inversa. Para resolver isso, vamos lembrar um pouco sobre matrizes e determinantes, que são ferramentas chave para entender se uma transformação linear é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Uma transformação linear de duas variáveis pode ser escrita na forma de uma matriz 2x2. No caso, temos:
Então, a matriz associada à transformação T é:
A = 1 & -1 1 & 1
Passo 3
Para saber se a transformação é invertível, precisamos calcular o determinante da matriz A . O determinante nos diz se a matriz tem inversa; se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é calculado por:
det(A) = ad - bc
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = (1)(1) - (1)(-1) = 1 + 1 = 2
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a transformação T é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que T é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 . Para uma matriz 2x2 a & b c & d , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores da nossa matriz e o determinante:
A^-1 = 12 1 & 1 -1 & 1
Simplificando, obtemos:
A^-1 = 12 & 12 -12 & 12
Resposta
A transformação linear T(x, y) = (x - y, x + y) é invertível, e sua inversa é dada por: