Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
T(x, y, z)=(x, x+y, x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a transformação linear T(x, y, z) = (x, x+y, x+y+z) é invertível. Se for, também precisamos achar a transformação inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é invertível se e somente se a matriz associada a ela for invertível. Então, vamos construir a matriz dessa transformação T .
A transformação T leva um vetor (x, y, z) em (x, x+y, x+y+z). Podemos expressar isso como uma multiplicação de matriz:
T = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa matriz é invertível. Para isso, vamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Vamos calcular o determinante da matriz:
det(T) = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Calculando o determinante:
det(T) = 1 times (1 times 1 - 0 times 1) - 0 times (1 times 1 - 0 times 1) + 0 times (1 times 1 - 1 times 1) = 1 times 1 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz T é invertível.

Passo 4

Como a matriz é invertível, a transformação T também é invertível. Vamos agora encontrar a matriz inversa T^-1 .
Para encontrar a inversa de uma matriz triangular inferior como essa, podemos usar o método de substituição ou aplicar a fórmula geral para matrizes 3x3. Vamos optar pelo método da matriz inversa.
A matriz T é:
T = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Calculando a inversa T^-1 :
T^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Resposta

Sim, a transformação linear T(x, y, z) = (x, x+y, x+y+z) é invertível. A transformação inversa é dada por:
T^-1(u, v, w) = ( u, v - u, w - v )

Exercícios relacionados