Recorra à regra de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes:
e) [cccc1 & 0 & 0 & 3 1 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 -5 & 2 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede que a gente compute o determinante da matriz
A = 1 & 0 & 0 & 3 1 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 1 -5 & 2 & 2 & 2
usando a regra de Laplace. Vamos lembrar que, para uma matriz ntimes n,
det(A) ;=;sumj=1^n aij,Cij,
onde Cij=(-1)^i+jdet(Mij) é o cofator e Mij é o menor obtido ao riscar a linha i e a coluna j. Para simplificar, escolhemos a primeira linha, que tem dois zeros.

Passo 2

Expandindo ao longo da primeira linha ( i=1), só restam dois termos não-nulos:
det(A) = a11,C11 + a14,C14 = 1cdot C11 + 3cdot C14
Aqui
C11=(-1)^1+1det(M11)=det(M11), C14=(-1)^1+4det(M14)=-det(M14)

Passo 3

O menor M11 é a matriz 3times3 obtida riscando linha 1 e coluna 1:
M11 = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 1 2 & 2 & 2
Calculando o determinante por Sarrus ou expansão:
det(M11) =1,(1cdot2 - 1cdot2)-0+;3,(0cdot2 - 1cdot2) =1cdot0 +3cdot(-2) =-6

Passo 4

O menor M14 vem de riscar linha 1 e coluna 4:
M14 = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -5 & 2 & 2
Seu determinante é
det(M14) =1,(0cdot2 - 1cdot2);-;1,(0cdot2 - 1cdot(-5)) =1cdot(-2);-;1cdot5 =-2 - 5 =-7

Passo 5

Agora montamos os cofatores e somamos:
C11=det(M11)=-6, C14=-det(M14)=-(-7)=7
Logo
det(A) =1cdot(-6) ;+;3cdot7 =-6 +21 =15

Resposta

;15

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