Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
T(x, y, z, t)=(x-2 y, y, z+t, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação linear chamada T é invertível. Se for, também precisa descobrir qual é a sua inversa. Estamos lidando com transformações lineares aqui, que basicamente são funções que respeitam certas regras matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e como elas representam essas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função T em uma matriz. A transformação dada é:
T(x, y, z, t) = (x - 2y, , y, , z + t, , z)
Isso significa que cada componente da saída depende das variáveis de entrada x, y, z, t . Podemos representar isso com uma matriz A onde cada coluna corresponde aos coeficientes de x, y, z, t nas expressões resultantes:
A = 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0

Passo 3

Agora precisamos verificar se essa matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante é um número que nos diz várias coisas sobre a matriz, incluindo se ela pode ser invertida.
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0
Observando a matriz, percebemos que as últimas duas linhas são muito semelhantes, o que geralmente indica que o determinante será zero. De fato, calculando o determinante, encontramos que:
det(A) = 0

Passo 4

Como o determinante de A é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear T também não é invertível.

Resposta

A transformação linear T(x, y, z, t) = (x - 2y, , y, , z + t, , z) não é invertível.

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