Determine se as transformações lineares a seguir são invertíveis. Caso positivo, determine suas inversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação linear chamada é invertível. Se for, também precisa descobrir qual é a sua inversa. Estamos lidando com transformações lineares aqui, que basicamente são funções que respeitam certas regras matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e como elas representam essas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função em uma matriz. A transformação dada é:
Isso significa que cada componente da saída depende das variáveis de entrada . Podemos representar isso com uma matriz onde cada coluna corresponde aos coeficientes de nas expressões resultantes:
Passo 3
Agora precisamos verificar se essa matriz A é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante é um número que nos diz várias coisas sobre a matriz, incluindo se ela pode ser invertida.
Observando a matriz, percebemos que as últimas duas linhas são muito semelhantes, o que geralmente indica que o determinante será zero. De fato, calculando o determinante, encontramos que:
det(A) = 0
Passo 4
Como o determinante de A é zero, isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a transformação linear T também não é invertível.
Resposta
A transformação linear T(x, y, z, t) = (x - 2y, , y, , z + t, , z) não é invertível.