Seja B uma matriz de ordem
inversível. Mostre que a transformação linear
dada por
é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz
de ordem
que é inversível. Nosso objetivo é mostrar que a transformação linear
, definida por
, é um isomorfismo. Vamos precisar entender o que são transformações lineares e isomorfismos, além de como a inversibilidade da matriz
influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer matrizes
e
em
e qualquer escalar
:
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Vamos checar a linearidade de
:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Como ambas as propriedades são verdadeiras,
é uma transformação linear.
Passo 4
Agora, para mostrar que
é um isomorfismo, precisamos provar que
é bijetora, ou seja, é injetora (nenhum elemento do domínio é mapeado para o mesmo elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos).
Como estamos trabalhando com espaços vetoriais de mesma dimensão (ambos
), bastará mostrar que
é injetora ou que é sobrejetora para concluir que é um isomorfismo.
Passo 5
Vamos mostrar que
é injetora. Suponha que
. Isso significa que:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Como
é inversível, multiplicando ambos os lados pela inversa de
,
:
Isso mostra que
é injetora.
Passo 6
Como
é uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão e é injetora, automaticamente ela é também sobrejetora. Portanto,
é bijetora.
Resposta
A transformação linear
é um isomorfismo.