Seja B uma matriz de ordem n times n inversível. Mostre que a transformação linear T: Mn, n Mn, n dada por T(A)=A B é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz B de ordem n times n que é inversível. Nosso objetivo é mostrar que a transformação linear T: Mn, n Mn, n , definida por T(A) = A B , é um isomorfismo. Vamos precisar entender o que são transformações lineares e isomorfismos, além de como a inversibilidade da matriz B influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer matrizes A e C em Mn, n e qualquer escalar k :
T(A + C) = T(A) + T(C) e T(kA) = kT(A)
Vamos verificar se T satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Vamos checar a linearidade de T :
  1. Adição:
T(A + C) = (A + C)B = AB + CB = T(A) + T(C)
  1. Multiplicação por escalar:
T(kA) = (kA)B = k(AB) = kT(A)
Como ambas as propriedades são verdadeiras, T é uma transformação linear.

Passo 4

Agora, para mostrar que T é um isomorfismo, precisamos provar que T é bijetora, ou seja, é injetora (nenhum elemento do domínio é mapeado para o mesmo elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos).
Como estamos trabalhando com espaços vetoriais de mesma dimensão (ambos Mn, n ), bastará mostrar que T é injetora ou que é sobrejetora para concluir que é um isomorfismo.

Passo 5

Vamos mostrar que T é injetora. Suponha que T(A) = T(C) . Isso significa que:
AB = CB
Subtraindo CB de ambos os lados, temos:
AB - CB = 0 Rightarrow (A - C)B = 0
Como B é inversível, multiplicando ambos os lados pela inversa de B , B^-1 :
(A - C)BB^-1 = 0 cdot B^-1 Rightarrow A - C = 0 Rightarrow A = C
Isso mostra que T é injetora.

Passo 6

Como T é uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão e é injetora, automaticamente ela é também sobrejetora. Portanto, T é bijetora.

Resposta

A transformação linear T(A) = A B é um isomorfismo.

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