Determine quais das transformações a seguir são lineares:
T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y^2,+x y^2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=l(x+y^2,;x,y^2r)
é linear. O conteúdo aqui é “transformações lineares em espaços vetoriais” e vamos usar a definição de linearidade.

Passo 2

Uma transformação T é linear se, para todo u,vinR^2 e todo escalar alphainR, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha,u)=alpha,T(u)

Passo 3

Basta mostrar uma das propriedades falhar. Vamos testar a homogeneidade com (x,y)=(1,1) e alpha=2:
Tl(2,(1,1)r)=T(2,2) =l(2+2^2,;2cdot2^2r) =(6,8),
enquanto
2,T(1,1) =2l(1+1,;1cdot1r) =2,(2,1) =(4,2)
Como (6,8)neq(4,2), vemos que
T(2,(1,1))neq 2,T(1,1),
logo T não é linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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