Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
2. T: R^2 R^3, com T(x, y)=(x-y, y-x, x-2 y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T: R^2 to R^3 dada por
T(x,y) = (x - y,;y - x,;x - 2y)
O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais, que exige uma transformação linear bijetora entre dois espaços. Vamos verificar linearidade, injeção e sobrejeção.

Passo 2

Verificar linearidade de T. Para (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e cinR, temos
T((x1,y1)+(x2,y2)) = T(x1+x2,;y1+y2) = l((x1+x2)-(y1+y2),;(y1+y2)-(x1+x2),;(x1+x2)-2(y1+y2)r),
que se distribui em
(x1-y1,;y1-x1,;x1-2y1)+(x2-y2,;y2-x2,;x2-2y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2)
Similarmente,
T(c,(x,y)) = T(cx,cy) = (cx-cy,;cy-cx,;cx-2cy) = c,(x-y,;y-x,;x-2y) = c,T(x,y)
Logo, T é linear.

Passo 3

Determinar o núcleo e concluir injetividade. Resolva T(x,y)=(0,0,0):
x - y = 0, y - x = 0, x - 2y = 0
As duas primeiras implicam x=y. Substituindo em x-2y=0 -x=0, logo x=y=0. Assim ker T=(0,0), o que mostra que T é injetora.

Passo 4

Verificar sobrejetividade. O domínio tem dimensão 2 e o contradomínio tem dimensão 3. Uma transformação linear não pode ser sobrejetora se <. Portanto, é um subespaço próprio de de dimensão 2, e não é sobrejetora.

Passo 5

Concluir sobre o isomorfismo. Como T não é bijetora (não é sobrejetora), não é isomorfismo entre R^2 e R^3.

Resposta

T não é um isomorfismo.

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