Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
2.
, com
2.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais, que exige uma transformação linear bijetora entre dois espaços. Vamos verificar linearidade, injeção e sobrejeção.
Passo 2
Verificar linearidade de
. Para
e
, temos
que se distribui em
Similarmente,
Logo,
é linear.
Passo 3
Determinar o núcleo e concluir injetividade. Resolva
:
As duas primeiras implicam
. Substituindo em
dá
, logo
. Assim
, o que mostra que
é injetora.
Passo 4
Verificar sobrejetividade. O domínio tem dimensão 2 e o contradomínio tem dimensão 3. Uma transformação linear não pode ser sobrejetora se <. Portanto,
é um subespaço próprio de
de dimensão 2, e
não é sobrejetora.
Passo 5
Concluir sobre o isomorfismo. Como
não é bijetora (não é sobrejetora), não é isomorfismo entre
e
.