Verifique se as funções a seguir são ou não transformações lineares. Justifique.
4. T: R^5 R^5, com T(x, y, z, w, t)=(x, y, 0,0, t);

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^5toR^5
por
T(x,y,z,w,t)=(x,y,0,0,t)
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Teste da aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1,w1,t1), v=(x2,y2,z2,w2,t2)
Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2,,w1+w2,,t1+t2),
logo
T(u+v)=(x1+x2,,y1+y2,,0,,0,,t1+t2)
Por outro lado,
T(u)=(x1,y1,0,0,t1), T(v)=(x2,y2,0,0,t2),
e
T(u)+T(v)=(x1+x2,,y1+y2,,0,,0,,t1+t2)
Logo
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Teste da homogeneidade. Seja alphainR e
u=(x,y,z,w,t)
Então
alpha,u=(alpha x,alpha y,alpha z,alpha w,alpha t)
e
T(alpha u)=(alpha x,alpha y,0,0,alpha t) =alpha,(x,y,0,0,t)=alpha,T(u)
Portanto
T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha u)=alpha T(u),
concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A função T é transformação linear.

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