Identifique uma transformação linear que:
associa um vetor de R^2 a ele rotacionado em 60^circ, sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^2toR^2 que a cada vetor (x,y) associa o mesmo vetor rotacionado de 60^circ no sentido anti-horário. O conteúdo aqui é representação matricial de rotações em R^2.

Passo 2

Sabemos que toda transformação linear T em R^2 fica determinada pelas imagens dos vetores da base canônica e1=(1,0) e e2=(0,1). A matriz de T na base canônica terá como primeira coluna T(e1) e como segunda coluna T(e2).

Passo 3

Para uma rotação de ângulo theta=60^circ no sentido anti-horário, aplica-se a fórmula
T(x,y)=l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar)
Logo,
T(e1)=T(1,0)=l(cos60^circ,;sin60^circr)=l(tfrac12,;tfracraiz32r),
T(e2)=T(0,1)=l(-sin60^circ,;cos60^circr)=l(-tfracraiz32,;tfrac12r)

Passo 4

Montando a matriz cujas colunas são e , obtemos
Portanto, para todo ,

Resposta

A transformação linear que rotaciona (x,y) em 60^circ sentido anti-horário é dada por
T(x,y)=l(tfrac12 x - tfracraiz32 y,;tfracraiz32 x + tfrac12 yr)
cuja matriz na base canônica é
tfrac12 & -tfracraiz32 tfracraiz32 & tfrac12

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