Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
  1. T: R^4 R^2, com T(x, y, z, w)=(x+y+z+w, x+2 y+z-w);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^4toR^2, T(x,y,z,w) = (,x+y+z+w,;x+2y+z-w,),
e pede o núcleo e a imagem de T. Para isso, vamos representar T por sua matriz em relação às bases canônicas, achar todas as soluções de T(x,y,z,w)=0 e descrever o espaço coluna dessa matriz.

Passo 2

Escrevendo T na forma matricial, temos
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 & -1 ,
de modo que T(x,y,z,w)=A,(x,y,z,w)^T. As colunas de A são
c1=(1,1)^T,; c2=(1,2)^T,; c3=(1,1)^T,; c4=(1,-1)^T

Passo 3

Para o núcleo, resolvemos
isto é o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
Inserindo em

Passo 4

Parametrizamos a solução por z e w:
(x,y,z,w) = (-z-3w,;2w,;z,;w) = z,( -1,0,1,0) + w,(-3,2,0,1)
Logo
ker(T) = span(-1,0,1,0),;(-3,2,0,1)

Passo 5

Para a imagem, note que Im(T) é o espaço gerado pelas colunas de A. Já vimos que
c1=(1,1), c2=(1,2)
são linearmente independentes (determinante neq0), então
rank(A)=2
e Im(T)=R^2. Uma base conveniente é (1,1),(1,2).

Resposta

ker(T)=span(-1,0,1,0),,(-3,2,0,1)
Im(T)=R^2, com base por exemplo (1,1),(1,2).

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