Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
5. T: R^4 M2 times 2(R), com T(x, y, z, w)=[ccx+2 y+2 z & x-y 2 z+w & 2 x+y+4 z+w]

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^4 to M2times2(R) por
T(x,y,z,w)= x+2y+2z & x-y [6pt] 2z+w & 2x+y+4z+w
O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares: como dimR^4=dim M2times2(R)=4, basta mostrar que ker(T)=0 para concluir que T é isomorfismo.]

Passo 2

Para achar ker(T) impomos
T(x,y,z,w)=02times2,
isto é, o sistema
x+2y+2z=0, x-y=0, 2z+w=0, 2x+y+4z+w=0

Passo 3

Da segunda equação vem
x=y
Da terceira vem
w=-2z
Substituindo em x+2y+2z=0
y+2y+2z=0implies 3y+2z=0implies y=-tfrac23z, x=-tfrac23z
Na quarta equação aparece
2x+y+4z+w=2y+y+4z-2z=3y+2z=0,
que é satisfeita. Logo
ker(T)=ltl(-tfrac23,-tfrac23,1,-2r)mid tinRr,
que não é trivial.

Resposta

A transformação T não é isomorfismo, pois ker(T) tem dimensão 1, ou seja, ker(T)neq0.

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