Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
5.
, com
5.
Passo 1
O enunciado define
Tcolon R^4 to M2times2(R) por
O conteúdo aqui é teoria de aplicações lineares: como
dimR^4=dim M2times2(R)=4 , basta mostrar que
ker(T)=0 para concluir que
T é isomorfismo.]
Passo 2
Para achar
ker(T) impomos
isto é, o sistema
Passo 3
Da segunda equação vem
Da terceira vem
Substituindo em
x+2y+2z=0 dá
Na quarta equação aparece
que é satisfeita. Logo
que não é trivial.
Resposta
A transformação
T não é isomorfismo, pois
ker(T) tem dimensão
1 , ou seja,
ker(T)neq0 .