Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
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Passo 1
O enunciado define a transformação
O conteúdo envolve transformação linear e isomorfismo de espaços vetoriais. Para mostrar que
é um isomorfismo, precisamos verificar que ela é linear, injetora e sobrejetora (ou equivalentemente que admite inversa linear).
Passo 2
Verificação de linearidade. Seja
e
em
e
. Então
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Verificação de injetividade via núcleo. Se
, então
Assim
, o que garante que
é injetora.
Passo 4
Verificação de sobrejetividade. Dado um vetor arbitrário
, basta observar que
Portanto todo
tem um pré-imagem, e
é sobrejetora. Alternativamente, definindo
vemos que
é linear e satisfaz
e
.
Resposta
A transformação
é um isomorfismo de
em
.