Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
  1. T: R^2 R^2, com T(x, y)=(y, x)

Passo 1

O enunciado define a transformação
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(y,x)
O conteúdo envolve transformação linear e isomorfismo de espaços vetoriais. Para mostrar que T é um isomorfismo, precisamos verificar que ela é linear, injetora e sobrejetora (ou equivalentemente que admite inversa linear).

Passo 2

Verificação de linearidade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2 e cinR. Então
T(u+v) =Tl((x1+x2,;y1+y2)r) =(y1+y2,;x1+x2) =(y1,x1)+(y2,x2) =T(u)+T(v),
e
T(c,u) =Tl((c,x1,;c,y1)r) =(c,y1,;c,x1) =c,(y1,x1) =c,T(u)
Logo, T é linear.

Passo 3

Verificação de injetividade via núcleo. Se T(x,y)=(0,0), então
(y,x)=(0,0)Longrightarrow y=0e x=0
Assim ker T=(0,0), o que garante que T é injetora.

Passo 4

Verificação de sobrejetividade. Dado um vetor arbitrário (a,b)inR^2, basta observar que
T(b,a)=(a,b)
Portanto todo (a,b) tem um pré-imagem, e T é sobrejetora. Alternativamente, definindo
T^-1(x,y)=(y,x),
vemos que T^-1 é linear e satisfaz T^-1circ T=Id e Tcirc T^-1=Id.

Resposta

A transformação T é um isomorfismo de R^2 em R^2.

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