Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
3. T: R^2 R^2, com T(x, y)=(x+y, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
;Tcolon R^2to R^2, T(x,y)=(x+y,0)
é um isomorfismo. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares, em particular injetividade, sobrejetividade e isomorfismo em espaços vetoriais finito-dimensionais. Para resolver, vamos:
  1. Mostrar que T é linear e escrever sua matriz.
  2. Calcular ker(T) e im(T).
  3. Concluir sobre injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.

Passo 2

Para ver que é linear basta observar que ela é dada por multiplicação por uma matriz. De fato, escrevendo vetores como , temos
Logo satisfaz e , isto é, é linear, com matriz

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação vem . Como , não é injetora.

Passo 4

Para a imagem, qualquer vetor de im(T) é da forma (x+y,0). Logo
im(T) =l(u,0)mid uinRr =span(1,0),
e dimim(T)=1. Como dimim(T)<2, T não é sobrejetora.

Passo 5

Em R^2 um isomorfismo precisa ser simultaneamente injetor e sobrejetor. Aqui T falha em ambos: ker(T) tem dimensão 1 (logo não injetora) e im(T) tem dimensão 1 (logo não sobrejetora). Assim não existe inversa linear.

Resposta

A transformação T não é um isomorfismo.

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