Determine se as transformações a seguir são ou não isomorfismos:
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é um isomorfismo. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares, em particular injetividade, sobrejetividade e isomorfismo em espaços vetoriais finito-dimensionais. Para resolver, vamos:
- Mostrar que
é linear e escrever sua matriz. - Calcular
e . - Concluir sobre injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.
Passo 2
Para ver que
é linear basta observar que ela é dada por multiplicação por uma matriz. De fato, escrevendo vetores como , temos
Logo
satisfaz
e
, isto é, é linear, com matriz
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação vem . Como
,
não é injetora.
Passo 4
Para a imagem, qualquer vetor de
é da forma
. Logo
e
. Como
,
não é sobrejetora.
Passo 5
Em
um isomorfismo precisa ser simultaneamente injetor e sobrejetor. Aqui
falha em ambos:
tem dimensão 1 (logo não injetora) e
tem dimensão 1 (logo não sobrejetora). Assim não existe inversa linear.
Resposta
A transformação
não é um isomorfismo.