Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas das transformações lineares abaixo. Determine o núcleo e descreva-os geometricamente.
3. T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+2 y, x+y);

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x+2y,;x+y)
O que precisamos é ( 1) encontrar a matriz de T em relação às bases canônicas de R^2 e ( 2) determinar o núcleo (kernel) de T e descrevê-lo geometricamente. Isso envolve aplicar T aos vetores da base canônica e resolver o sistema T(x,y)=(0,0).

Passo 2

Para obter a matriz de T nas bases canônicas, calculamos T nos vetores e1=(1,0) e e2=(0,1):
T(e1)=T(1,0)=(2cdot1+2cdot0,;1+0)=(2,1),
T(e2)=T(0,1)=(2cdot0+2cdot1,;0+1)=(2,1)
Portanto, a matriz de T é
A = 2 & 2 1 & 1,
onde as colunas são T(e1) e T(e2).

Passo 3

O núcleo de
que reduz a . Logo
Geometricamente, trata-se da reta que passa pela origem com inclinação .

Resposta

A matriz de T nas bases canônicas é
2 & 2 1 & 1,
e o núcleo é
ker(T)=(t,-t)mid tinR,
isto é, a reta de equação y=-x em R^2.

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