Seja a transformação linear T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(-x, y cos 60^circ+z sen 60^circ,-y sen 60^circ+ z cos 60^circ ). Determine:
  1. a matriz [T] dessa transformação linear, considerando base canônica;

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T na base canônica de R^3. Para isso, vamos usar o fato de que, nessa base, as colunas de [T] são as imagens de e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1) por T.

Passo 2

Anotamos os valores de cosseno e seno de 60^circ:
cos 60^circ = tfrac12, sin 60^circ = tfracraiz32

Passo 3

Calculamos T sobre os vetores da base:
T(e1)=T(1,0,0)=(-1,;0,;0),
T(e2)=T(0,1,0)=l(0,;cos 60^circ,;-sin 60^circr) =l(0,;tfrac12,;-tfracraiz32r),
T(e3)=T(0,0,1)=l(0,;sin 60^circ,;cos 60^circr) =l(0,;tfracraiz32,;tfrac12r)

Passo 4

Formamos a matriz [T] colocando essas imagens como colunas, na ordem e1,e2,e3.

Resposta

[T] ;=; -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfracraiz32 0 & -tfracraiz32 & tfrac12

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