Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
2. , com .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear definida por
O conteúdo é Núcleo (ker) e Imagem (coluna) de uma transformação linear. Vamos escrever a matriz associada a , resolver o sistema homogêneo para encontrar o núcleo e analisar as colunas para obter a imagem.
Passo 2
A matriz de na base canônica é
pois . Para achar resolvemos
isto é, o sistema
Passo 3
Do terceiro equação vem x = 2z. Substituindo em x+y+z=0 dá
2z + y + z = 0 implies y = -3z
Verificamos que a segunda equação fica 2(2z)+(-3z)-z = 0, consistente. Logo
(x,y,z) = (2z,,-3z,,z) = z,(2,-3,1),
com zinR. Portanto
ker(T) = l,z,(2,-3,1)mid zinRr = span(2,-3,1)
Passo 4
Para a imagem, usamos as colunas de
Buscamos combinação :
Resolve-se e confere-se no terceiro componente. Logo é combinação de , e é base de . Assim