Encontre o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
2. T: R^3 R^3, com T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+y-z, x-2 z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T: R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x+y+z,;2x+y-z,;x-2z)
O conteúdo é Núcleo (ker) e Imagem (coluna) de uma transformação linear. Vamos escrever a matriz associada a T, resolver o sistema homogêneo para encontrar o núcleo e analisar as colunas para obter a imagem.

Passo 2

A matriz de na base canônica é
pois . Para achar resolvemos
isto é, o sistema

Passo 3

Do terceiro equação vem x = 2z. Substituindo em x+y+z=0
2z + y + z = 0 implies y = -3z
Verificamos que a segunda equação fica 2(2z)+(-3z)-z = 0, consistente. Logo
(x,y,z) = (2z,,-3z,,z) = z,(2,-3,1),
com zinR. Portanto
ker(T) = l,z,(2,-3,1)mid zinRr = span(2,-3,1)

Passo 4

Para a imagem, usamos as colunas de
Buscamos combinação :
Resolve-se e confere-se no terceiro componente. Logo é combinação de , e é base de . Assim

Resposta

ker(T) = span(2,-3,1), Im(T) = span(1,2,1),,(1,1,0)

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