Identifique uma transformação linear que:
associa um vetor de R^3 ao seu vetor simétrico em relação ao plano alpha: x-z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^3 que leva cada vetor ao seu reflexo em relação ao plano alpha:x - z = 0. O conteúdo é reflexão de vetores em um plano que passa pela origem, e vamos usar a fórmula de reflexão
T(v)=v-2lang<= u,vrang<=,u
onde u é o vetor normal unitário ao plano.

Passo 2

O plano alpha tem vetor normal n=(1,0,-1). Seu comprimento é
|n|=raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2,
logo o vetor normal unitário é
u=n|n|=1raiz2(1,0,-1)

Passo 3

Pela fórmula da reflexão em um plano que passa pela origem, para vinR^3 vale
T(v)=v-2llang<= u,vrrang<=,u
Em termos matriciais, T é
T(v)=l(I-2,u,u^Tr)v

Passo 4

Calculamos o operador I-2,u,u^T. Primeiro
u,u^T=1210-1!(1;0;-1) =121 & 0 & -1[6pt]0 & 0 & 0[6pt]-1 & 0 & 1,
de modo que
2,u,u^T =1 & 0 & -1[3pt]0 & 0 & 0[3pt]-1 & 0 & 1
Então
I-2,u,u^T =1&0&0[3pt]0&1&0[3pt]0&0&1 - 1&0&-1[3pt]0&0&0[3pt]-1&0&1 = 0&0&1[3pt]0&1&0[3pt]1&0&0 ]

Passo 5

Esse operador troca a primeira e a terceira coordenadas de qualquer vetor v=(x,y,z), deixando y inalterado. Logo
T(x,y,z)=(z,y,x)

Resposta

A transformação linear que reflete em relação ao plano alpha:x-z=0 tem matriz, na base canônica,
0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ,
ou, em forma de aplicação,
T(x,y,z)=(z,y,x)

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