Determine a transformada inversa de Laplace.
L^-1(s+1)^2(s+2)^4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=(s+1)^2(s+2)^4
Aqui vamos usar a propriedade do descolamento no domínio de s (shift):
seja
Lt^n-1e^-at=(n-1)!(s+a)^n,
então
L^-1(s+a)^-n=t^n-1e^-at(n-1)!

Passo 2

Reescrevemos o numerador (s+1)^2 em função de (s+2):
(s+1)^2 = l((s+2)-1r)^2 = (s+2)^2 -2(s+2) +1

Passo 3

Dividindo cada termo por (s+2)^4, obtemos
F(s) = (s+2)^2(s+2)^4 -2,(s+2)(s+2)^4 + 1(s+2)^4 = (s+2)^-2 -2,(s+2)^-3 + (s+2)^-4

Passo 4

Aplicando a fórmula de inversão para cada termo:
L^-1(s+2)^-2 = t^2-1e^-2t(2-1)! = t,e^-2t,
L^-1(s+2)^-3 = t^3-1e^-2t(3-1)! = t^2e^-2t2,
L^-1(s+2)^-4 = t^4-1e^-2t3! = t^3e^-2t6
Logo,
f(t) = t,e^-2t -2cdott^2e^-2t2 + t^3e^-2t6 = e^-2tl(t - t^2 + tfract^36r)

Resposta

L^-1ltfrac(s+1)^2(s+2)^4r = e^-2tl(t - t^2 + tfract^36r)

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