Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
2 d id t+10 i=20, i(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial
2,didt + 10,i = 20, i(0)=0,
para .
Conteúdo: transformada de Laplace e sua propriedade para derivadas; tabela de transformadas básicas; frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação.
  1. Lembrando que
Ltfracdidt=s,I(s)-i(0)
  1. Denotando Ll[2,tfracdidtr] =2l(s,I(s)-0r) =2s,I(s), e sabendo L[,10,i(t),]=10,I(s), L[20]=20s , temos:
2s,I(s) + 10,I(s) = 20s
Aplicando na equação:

Passo 3

Agora juntamos os termos em (2s + 10),I(s) = 20s Longrightarrow I(s)=20s,(2s+10) :
I(s)=202,s,(s+5) =10s,(s+5)
Podemos simplificar fatorando em :

Passo 4

Fazemos frações parciais em
10 = A(s+5) + B,s
Multiplicando por I(s)=2s - 2s+5 :
i(t)=2cdot1 -2cdot e^-5t =2 - 2e^-5t
  • Para : .
  • Para : .
    Logo
Agora aplicamos a transformada inversa:

Resposta

boxedi(t)=2l(1 - e^-5tr), t>=0

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