Determine a transformada inversa de Laplace.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s}{(s+1)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{s}{(s+1)^{2}}
O conteúdo principal envolve decomposição de frações e uso da linearidade da transformada de Laplace, além da tabelinha básica \mathscr{L}\{e^{-t}\}=\frac1{s+1} e \mathscr{L}\{t\,e^{-t}\}=\frac1{(s+1)^{2}}.

Passo 2

Reescrevemos o numerador s como (s+1)-1, assim:
\frac{s}{(s+1)^{2}} =\frac{(s+1)-1}{(s+1)^{2}} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Identificamos cada parcela na tabela de transformadas: \displaystyle \mathscr{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}
e \displaystyle \mathscr{L}\{t\,e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa:
\mathscr{L}^{-1}\Big\{\tfrac{1}{s+1}\Big\}=e^{-t}, \quad \mathscr{L}^{-1}\Big\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\Big\}=t\,e^{-t}.
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\mathscr{L}^{-1}\Big\{\tfrac{s}{(s+1)^{2}}\Big\} =e^{-t}-t\,e^{-t} =(1 - t)\,e^{-t}.

Resposta

(1 - t)\,e^{-t}

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