Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S+1}{S^{2}+2}\right\}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S+1}{S^{2}+2}\right\}.
Informações dadas: a expressão racional em S é \dfrac{S+1}{S^{2}+2}. Não há mais dados (intervalo, condições iniciais, etc.). A tarefa é encontrar uma função de t cuja transformada de Laplace seja essa expressão.

Passo 2

Usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa é linear, ou seja
\mathcal{L}^{-1}\{F(S)+G(S)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F(S)\}+\mathcal{L}^{-1}\{G(S)\},
portanto podemos separar a fração em duas parcelas somáveis:
\frac{S+1}{S^{2}+2}=\frac{S}{S^{2}+2}+\frac{1}{S^{2}+2}.

Passo 3

Relembrando fórmulas padrão (essas são fichas que valem ouro na prova):
  • A transformada de Laplace de \cos(at) é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{S}{S^{2}+a^{2}}.
Aqui a é um número real positivo que representa a frequência angular; t é a variável do tempo.
  • A transformada de Laplace de \sin(at) é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{S^{2}+a^{2}}.
Daí, invertendo, temos as correspondências
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{S^{2}+a^{2}}\right\}=\cos(at), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(at).
(para a segunda usamos que \dfrac{1}{S^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{a}{S^{2}+a^{2}}.)

Passo 4

Identificamos na nossa expressão a^{2}=2, portanto a=\sqrt{2}. Aplicando as correspondências:
  • Para a parcela \dfrac{S}{S^{2}+2} (com a=\sqrt{2}):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{S^{2}+2}\right\}=\cos\big(\sqrt{2}\,t\big).
  • Para a parcela \dfrac{1}{S^{2}+2}:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{2}+2}\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 5

Somando as duas inversas, pela linearidade, obtemos a função tempo completa:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S+1}{S^{2}+2}\right\} =\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): aplicando \mathcal{L} à resposta:
\mathcal{L}\!\left\{\cos(\sqrt{2}\,t)\right\}=\frac{S}{S^{2}+2},\qquad \mathcal{L}\!\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}\,t)\right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{S^{2}+2}=\frac{1}{S^{2}+2},
soma dá exatamente \dfrac{S+1}{S^{2}+2}, logo está consistente.

Resposta

\cos\big(\sqrt{2}\,t\big)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\big(\sqrt{2}\,t\big)

Exercícios relacionados