Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a transformada inversa de Laplace
Informações dadas: a expressão racional em
é
. Não há mais dados (intervalo, condições iniciais, etc.). A tarefa é encontrar uma função de
cuja transformada de Laplace seja essa expressão.
Passo 2
Usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa é linear, ou seja
portanto podemos separar a fração em duas parcelas somáveis:
Passo 3
Relembrando fórmulas padrão (essas são fichas que valem ouro na prova):
- A transformada de Laplace de
é
Aqui
é um número real positivo que representa a frequência angular;
é a variável do tempo.
- A transformada de Laplace de
é
Daí, invertendo, temos as correspondências
(para a segunda usamos que
.)
Passo 4
Identificamos na nossa expressão
, portanto
. Aplicando as correspondências:
- Para a parcela
(com ):
- Para a parcela
:
Passo 5
Somando as duas inversas, pela linearidade, obtemos a função tempo completa:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): aplicando
à resposta:
soma dá exatamente
, logo está consistente.