Determine a transformada inversa
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a transformada inversa
.
Informações dadas: a função no domínio de é
. Não há outras informações adicionais no enunciado.
Informações dadas: a função no domínio de
Passo 2
Lembrete da definição e do par que vamos usar (isso é importante para você usar na prova): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável (normalmente com
para garantir convergência). Um par padrão muito útil é
onde
. Aqui
é uma constante que representa a frequência angular da função seno. Essa fórmula significa que se você vê uma expressão da forma
no domínio de
, a inversa é
.
Passo 3
Justificativa rápida (para você entender por que o par acima vale): considere
Usando exponenciais complexas,
, então
Para
a integral converge e dá
Tomando a parte imaginária,
Pronto:
.
Passo 4
Agora faça a álgebra com a função dada para colocá-la na forma do par padrão. Começamos com
Repare que
. Então a expressão fica
Comparando com
, vemos que aqui
, mas falta um fator
no numerador. Ou seja, temos
com
.
Passo 5
Aplicando a regra inversa: como
seguimos que
No nosso caso
, então
Como havia o fator
multiplicando, multiplicamos o resultado por
:
Passo 6
Verificação rápida (faz bem em prova quando sobra tempo): calcule a transformada de Laplace de
:
que é exatamente a função original em
. Beleza — está correto.