Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4 s^{2}+1}\right\}.
Informações dadas: a função no domínio de s é \displaystyle \frac{1}{4 s^{2}+1}. Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Lembrete da definição e do par que vamos usar (isso é importante para você usar na prova): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é a variável (normalmente com \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência). Um par padrão muito útil é
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
onde a>0. Aqui a é uma constante que representa a frequência angular da função seno. Essa fórmula significa que se você vê uma expressão da forma \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} no domínio de s, a inversa é \sin(a t).

Passo 3

Justificativa rápida (para você entender por que o par acima vale): considere
I=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(a t)\,dt.
Usando exponenciais complexas, \sin(a t)=\operatorname{Im}(e^{i a t}), então
I=\operatorname{Im}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt.
Para \operatorname{Re}(s)>0 a integral converge e dá
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a}.
Tomando a parte imaginária,
I=\operatorname{Im}\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{s+i a}{s^{2}+a^{2}}\right)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Pronto: \mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Agora faça a álgebra com a função dada para colocá-la na forma do par padrão. Começamos com
\frac{1}{4 s^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Repare que \tfrac{1}{4}=(\tfrac{1}{2})^{2}. Então a expressão fica
\frac{1}{4 s^{2}+1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Comparando com \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}, vemos que aqui a=\tfrac{1}{2}, mas falta um fator a no numerador. Ou seja, temos \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+a^{2}} com a=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando a regra inversa: como
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
seguimos que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(a t).
No nosso caso a=\tfrac{1}{2}, então
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t\right)=2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Como havia o fator \tfrac{1}{4} multiplicando, multiplicamos o resultado por \tfrac{1}{4}:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{4}\cdot 2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)=\frac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right).

Passo 6

Verificação rápida (faz bem em prova quando sobra tempo): calcule a transformada de Laplace de \dfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right):
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\right\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{4s^{2}+1},
que é exatamente a função original em s. Beleza — está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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