Determine a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2 s+5}\right\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a transformação de Laplace no domínio de s
\frac{1}{s^{2}+2s+5}
e a tarefa é encontrar a função no domínio do tempo t cuja transformada de Laplace é essa, ou seja determinar
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+2s+5}\right\}.
Informações relevantes que eu tenho aqui: o numerador é \,1, o denominador é um polinômio quadrático em s, e a variável da transformada é s. O resultado procurado é uma função f(t) (dependendo de t, para t\ge0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s^{2}+2s+5}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para escrever numa forma que casa com tabelas padrões. Faço a conta passo a passo:
s^{2}+2s+5=(s^{2}+2s+1)+4=(s+1)^{2}+4.
Explicando: (s+1)^{2}=s^{2}+2s+1, então para voltar a +5 precisamos somar 4. Agora a expressão fica
\frac{1}{s^{2}+2s+5}=\frac{1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 3

Agora preciso lembrar algumas transformadas padrão e o que significam as variáveis nelas. Duas fórmulas muito úteis são (valem para \Re(s)>-a, garantindo convergência):
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Aqui t é a variável do tempo (onde a função existe para t\ge0), s é a variável da transformada de Laplace, a é o parâmetro de decaimento/exponencial (deslocamento no eixo s) e b é a frequência angular da senoide. Essas fórmulas derivam da integral de Laplace aplicada a e^{-at}\cos(bt) e e^{-at}\sin(bt); por exemplo, para a seno:
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-at}\sin(bt)\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\sin(bt)\,dt=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}},
onde usamos a integral conhecida \int_{0}^{\infty}e^{-pt}\sin(bt)\,dt=\dfrac{b}{p^{2}+b^{2}} para \Re(p)>0 e colocamos p=s+a.

Passo 4

Comparo a nossa expressão completada \dfrac{1}{(s+1)^{2}+4} com a forma da transformada de \sin. Se eu identificar a=1 e b=2 então
\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}=\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.
Mas minha expressão tem numerador 1, não 2. Posso então fatorar um 1/2:
\frac{1}{(s+1)^{2}+4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.
Pelo par padrão da transformada, a transformada inversa de \dfrac{2}{(s+1)^{2}+4} é e^{-t}\sin(2t). Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} fora, a transformada inversa procurada é
\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).

Passo 5

Verificação rápida (serve para você saber como checar na prova): aplicando a transformada de Laplace em \dfrac{1}{2}e^{-t}\sin(2t) obtém-se
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)\right\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s+1)^{2}+4}=\frac{1}{(s+1)^{2}+4}=\frac{1}{s^{2}+2s+5},
que é exatamente a função original em s. Então está certinho. Observação: a região de convergência exige \Re(s)>-1, mas para fins de exercícios normalmente basta a forma encontrada.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t)

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