Determine a transformada inversa
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a transformação de Laplace no domínio de
e a tarefa é encontrar a função no domínio do tempo
cuja transformada de Laplace é essa, ou seja determinar
Informações relevantes que eu tenho aqui: o numerador é
, o denominador é um polinômio quadrático em
, e a variável da transformada é
. O resultado procurado é uma função
(dependendo de
, para
) tal que
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para escrever numa forma que casa com tabelas padrões. Faço a conta passo a passo:
Explicando:
, então para voltar a
precisamos somar
. Agora a expressão fica
Passo 3
Agora preciso lembrar algumas transformadas padrão e o que significam as variáveis nelas. Duas fórmulas muito úteis são (valem para
, garantindo convergência):
Aqui
é a variável do tempo (onde a função existe para
),
é a variável da transformada de Laplace,
é o parâmetro de decaimento/exponencial (deslocamento no eixo
) e
é a frequência angular da senoide. Essas fórmulas derivam da integral de Laplace aplicada a
e
; por exemplo, para a seno:
onde usamos a integral conhecida
para
e colocamos
.
Passo 4
Comparo a nossa expressão completada
com a forma da transformada de
. Se eu identificar
e
então
Mas minha expressão tem numerador
, não
. Posso então fatorar um
:
Pelo par padrão da transformada, a transformada inversa de
é
. Multiplicando pelo fator
fora, a transformada inversa procurada é
Passo 5
Verificação rápida (serve para você saber como checar na prova): aplicando a transformada de Laplace em
obtém-se
que é exatamente a função original em
. Então está certinho. Observação: a região de convergência exige
, mas para fins de exercícios normalmente basta a forma encontrada.